n4⑵ 设cn?，证明：?Ck?1．
anan?1k?1bn?1?1n?1四、数列与函数交汇的综合题
(x?1)4?(x?1)4例22 已知函数f(x)?（x?0）。 44(x?1)?(x?1)（Ⅰ）若f(x)?x且x?R，则称x为f(x)的实不动点，求f(x)的实不动点； （II）在数列{an}中，a1?2，an?1?f(an)（n?N?），求数列{an}的通项公式。 例23 二次函数f(x)符合f(x)?0,且f(x)?2x2恒成立，f(1)?1 （1）求f(0)并求f(x)的解析式； （2）若an?f(1)f(2)f(n)1????,bn?,求数12nan(n),且c1?2,列?bn?前n项和Sn. （3）若cn?1?fc最小自然数n． 例24 已知函数f?x??14x?2记Tn?c1c?2?..c?,n求符合Tn?2008?x?R?，点P1?x1,y1?，P2?x2,y2?是函数f?x?图像上的两个
1． 2点，且线段P1P2的中点P的横坐标为
⑴求证：点P的纵坐标是定值；⑵若数列?n?an?f???m??an?的通项公式为
?m?N,n?1,2,?,m?，求数列?an?的前m项的和Sm；
f(0)?12，定义fn+1 (x)= f1［fn(x)］，an =n（n∈N*）. 1?xfn(0)?24n2?nQn=2（n?a1?2a2?3a3???2na2n，
4n?4n?1例25 设f1(x)=
(1) 求数列｛an｝的通项公式；(2) 若T2n∈N*），试比较9T2n与Qn的大小，并说明理由.
(x)?例26 已知函数f?0(x?0)?n[x?(n?1)]?f(n?1)?(n?1?x?n，n?N*)，数列
?f(n)(n?N*) （I）求数列{an}的通项公式； {an}满足an()(aa?0)?a)的图象所围成的封闭图形的面积为S（II）设x轴、直线x与函数y?f(x，(nS)?(n?1)(n?N*)求S；
9
（III）在集合M，且1中，是否存在正整数N，?{N|NkkZ?2，?000??k1500}使得不等式a对一切n恒成立？若存在，则这样的正整数N?N?1005??S(n)S(n?1)n共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由。
（IV）请构造一个与{an}有关的数列{bn}，使得l存在，并求出im(b??b?b)12?nn??这个极限值。
例27 函数 （Ⅰ）求证：
；
的定义域为R，且
（Ⅱ）若
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下记
上的最小值为，试求f(x)的解析式；
试比较
与
的大小并证明你的结论．
例28 已知函数f(x)?kx?m,当x?[a1,b1]时，f(x)的值域为[a2,b2]，当x?[a2,b2]
时，f(x)的值域为[a3,b3]，依次类推，一般地，当x?[an?1,bn?1]时，f(x)的值域
为[an,bn]，其中k、m为常数，且a1?0,b1?1.
（1）若k=1，求数列{an},{bn}的通项公式；
（2）项m=2，问是否存在常数k?0，使得数列{bn}满足limbn?4?若存在，求k的
n??值；若不存在，请说明理由；
（3）若k?0，设数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，求
(T1?T2???T2010)?(S1?S2???S2010)。
f(x)?x2?11x? 24例29 已知函数 ，f?(x)为函数f(x)的导函数．
（Ⅰ）若数列{an}满足：a1?1，an?1?f?(an)?f?(n)（n?N?），求数列{an}的通项an；（Ⅱ）若数列{bn}满足：b1?b，bn?1?2f(bn)（n?N?）．
10
ⅰ.当b?1时，数列{bn}是否为等差数列？若是，请求出数列{bn}的通2项bn；若不是，请说明理由；
n121ⅱ.当?b?1时， 求证：??．
b2b?12i?1ifk'?1(x)例30 已知f0(x)?x,fk(x)?,其中k?n(n,k?N?),
fk?1(1)n设F(x)?Cnf0(x)?Cnf1(x)?...?Cnfk(x)?...?Cnfn(x),x???1,1?.
0212k2n2(I) 写出fk(1);(II) 证明:对任意的x1,x2???1,1?,恒有F(x1)?F(x2)?2
n?1(n?2)?n?1.
五、数列与不等式交汇的综合题
例31 已知数列{an}满足.an?an?1?12a2n?1(n?N*) n(1)若数列{an}是以常数a1首项,公差也为a1的等差数列,求a1的值; (2)若a0?(3)若a0?1111??2对任意n?N?都成立； ,求证：
an?1ann21n?1,求证：?an?n对任意n?N?都成立. 2n?2S例32 设数列{an}的前n项和为Sn，a1?1,an?n?2(n?1)。
n（1）求证：数列{an}为等差数列，并分别求出an、Sn的表达式；
111}的前n项和为Tn，求证：?Tn?；
anan?154SSS2（3）是否存在自然数n,使得S1?2?3???n?(n?1)?2009？若存在，求出n
23n（2）设数列{的值；若不存在,请说明理由。
22Sn1例33 已知数列?an?中，a1?，当n?2时，其前n项和Sn满足an?，
2Sn?13（1） 求Sn的表达式及liman的值；求数列?an?的通项公式；
n??S2n11
（2） 设bn?1(2n?1)3?1(2n?1)3，求证：当n?N且n?2时，an?bn。
例34 已知数列?an?各项均不为0，其前n项和为Sn，且对任意n?N*都有(1?p)Sn?p?pan（p为大于1的常数），记
(1) 求
2n1?C1a?Ca???Cn1n2nanf(n)?2nSn．
an；(2) 试比较f(n?1)与
p?1f(n)的大小（n?N*）； 2p2n?1p?1??p?1??（n?N* ?1????，
p?1???2p???(3) 求证：(2n?1)f(n)剟f(1)?f(2)???f(2n?1)
2例35 数列?an?：满足a1?2,an?1?an?6an?6(n?N?).
(Ⅰ) 设Cn?log5(an?3)，求证?Cn?是等比数列；(Ⅱ) 求数列?an?的通项公式; （Ⅲ）设bn?1151?2,数列?bn?的前n项和为Tn,求证: ??Tn??. an?6an?6an1642例36 给定正整数n和正数b，对于满足条件a1?an?1?b的所有无穷等差数列?an?，试求y?an?1?an?2???a2n?1的最大值，并求出y取最大值时?an?的首项和公差． 例37 已知数列{an}满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an－1（n≥2，n∈N*），若数列{an?1??an}是
114?k?1；等比数列. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）求证：当k为奇数时，?
akak?13 （Ⅲ）求证：1?1???1?1(n?N*).
a1a2an2例 38 如图，把正?ABC分成有限个全等的小正三角形，且在每个小三角形的顶点上都放置一个非零实数，使得任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相对顶点上实数的乘积相等．设点A为第一行，．．．，BC为第n行，记
?，第i行中第j个数为点A上的数为a11，aij(1?j?i)．若a11?1,a21?11（1）求,a22?．
24a31、a32、a33；（2）试求第n行中第m个数anm的表达式（用n、m表示）；
12
相关推荐：
loading