高三数学专题复习
层级二 专题五 第3讲
限时60分钟 满分60分
解答题(本大题共5小题，每小题12分，共60分)
x2y23
1．已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)经过点M(2,1)，且离心率e＝. ab2(1)求椭圆C的方程；
(2)设A，B分别是椭圆C的上顶点、右顶点，点P是椭圆C在第一象限内的一点，直线AP，BP分别交x轴，y轴于点M，N，求四边形ABMN面积的最小值．
解析：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的基本性质以及直线方程，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算．(1)由离心率及c2＝a2－b2得a，b的关系，再把已知点代入即可求出标准方程；(2)设出点P的坐标，得到直线AP，BP的方程，从而表示出点M，N的坐标，进而得到|AN|·|BM|，最后利用S四边形ABMN＝S△OMN－S△OAB及基本不等式求面积的最小值．
(1)由椭圆的离心率为1
＝1，解得b2＝2， b2
x2y2
∴椭圆C的方程为＋＝1.
82
(2)由(1)可知，A(0，2)，B(22，0)，设P(x0，y0)(0＜x0＜22，0＜y0＜2)，则直线AP：
3c34得，＝，又c2＝a2－b2，∴a＝2b.又椭圆C经过点(2,1)，∴2＋2a24b
?－2x0?y0－2
，0?. y＝x＋2，从而M?x0y0－2?
?
?－22y0?y0
直线BP：y＝(x－22)，从而N?0，?.
x－22x0－220??
?2＋22y0??22＋2x0?2?x0＋2y0－22?2x2y200
∵＋＝1，∴|AN|·|BM|＝? ?·??＝82x0－22??y0－2??x0－22??y0－2??
＝
22?x20＋4y0＋4x0y0－42x0－82y0＋8?
x0y0－2x0－22y0＋4
＝8.
∴S四边形ABMN＝S△OMN－S△OAB
- 1 -
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1
＝(|OM|·|ON|－|OA|·|OB|) 21
＝(2|BM|＋22|AN|＋8) 2＝
2
(|BM|＋2|AN|)＋4 2
2·22|AN|·|BM| 2
≥4＋
＝4＋42(O为坐标原点)，
当且仅当|BM|＝4，|AN|＝2时取得最小值．
x2y23
2．已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，上顶点M到直线3x＋y＋4＝0的距
ab2离为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l过点(4，－2)，且与椭圆C相交于A，B两点，l不经过点M，证明：直线MA的斜率与直线MB的斜率之和为定值．
解：本题主要考查椭圆与直线的交汇，考查考生的数形结合能力、推理论证能力以及运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算．
??|b＋4|
(1)由题意可得，?＝3
2??a＝b＋c
2
2
c3e＝＝a2
2
??a＝4x2y2
，解得?，所以椭圆C的方程为＋＝1.
164
?b＝2?
(2)易知直线l的斜率恒小于0，设直线l的方程为y＋2＝k(x－4)，k＜0且k≠－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
??y＋2＝k?x－4?
联立得?x2y2，得(1＋4k2)x2－16k(2k＋1)x＋64k(k＋1)＝0，
??16＋4＝1
16k?2k＋1?64k?k＋1?则x1＋x2＝，x， 1x2＝
1＋4k21＋4k2因为kMA＋kMB＝
y1－2y2－2
＋ x1x2
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?kx1－4k－4?x2＋?kx2－4k－4?x1＝，
x1x2所以kMA＋kMB＝2k－(4k＋4)×值)．
y2x26
3．(2019·淮南三模)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，直线4x＋3y－5＝0
ab3与以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆相切．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若A为椭圆C的下顶点，M，N为椭圆C上异于A的两点，直线AM与AN的斜率之积为1.
①求证：直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标； →→
②若O为坐标原点，求OM·ON的取值范围． c6解析：(1)由题意可得离心率e＝＝，
a3又直线4x＋3y－5＝0与圆x2＋y2＝b2相切， 所以b＝
|－5|
＝1，
x1＋x216k?2k＋1?
＝2k－4(k＋1)×＝2k－(2k＋1)＝－1(为定x1x264k?k＋1?
42＋32
结合a2－b2＝c2，解得a＝3， y22
所以椭圆C的标准方程为＋x＝1.
3(2)①设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
y1＋3y2＋3
由题意知A(0，－3)，又直线AM与AN的斜率之积为1，所以·＝1，
x1x2即有x1x2＝y1y2＋3(y1＋y2)＋3，
由题意可知直线MN的斜率存在且不为0， 设直线MN：y＝kx＋t(k≠0)，
代入椭圆方程，消去y可得(3＋k2)x2＋2ktx＋t2－3＝0， 2kt
所以x1x2＝，x， 1＋x2＝－
3＋k23＋k2
t2－3
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2k2t6t
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2t＝2t－＝，
3＋k23＋k2y1y2＝k2x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2
2kt?t2－33t2－3k2?
＝k2·＋kt?－3＋k2?＋t2＝， 2??3＋k3＋k23t2－3k2?6t?所以＝＋3?3＋k2?＋3， 22??3＋k3＋k
化简得t2＋33t＋6＝0，解得t＝－23(－3舍去)， 则直线MN的方程为y＝kx－23，
即直线MN恒过定点，该定点的坐标为(0，－23)．
t2－33t2－3k24t2－3－3k245－3k2
→→
②由①可得OM·ON＝x1x2＋y1y2＝＋＝＝，
3＋k23＋k23＋k23＋k2
由(3＋k2)x2＋2ktx＋t2－3＝0，可得Δ＝4k2t2－4(t2－3)(3＋k2)＝48k2－36(3＋k2)＞0，解得k2＞9.
令3＋k2＝m，则m＞12，且k2＝m－3， 45－3k245－3?m－3?54
所以＝＝－3，
mm3＋k2543
由m＞12，可得－3＜－3＜.
m23→→
－3，?. 则OM·ON的取值范围是?2??4．(2019·浙江卷)
t2－3
如图，已知点F(1,0)为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得ΔABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.
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(1)求p的值及抛物线的准线方程； S1
(2)求的最小值及此时点G的坐标．
S2p
解：(1)由题意得＝1，即p＝2.
2所以，抛物线的准线方程为x＝－1.
(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xc，yc)，重心G(xG，yG)．令yA＝2t，t≠0，则xA＝t2. t2－12?t2－1?
22
由于直线AB过F，故直线AB的方程为x＝y＋1，代入y＝4x，得y－y－4
2tt＝0，
122
，－?. 故2tyB＝－4，即yB＝－，所以B?2
t??tt
112
又由于xG＝(xA＋xB＋xC)，yG＝(yA＋yB＋yC)及重心G在x轴上，故2t－＋yC＝0，得
33t1?21???2t4－2t2＋2????C??t－t?，2?t－t??，G?，0?.
3t2??
所以，直线AC的方程为y－2t＝2t(x－t2)，得Q(t2－1,0)． 由于Q在焦点F的右侧，故t2＞2.从而 1
|FG|·|yA|S12＝ S21
|QG|·|yc|2
?2t4－2t2＋2?
|2t|?－1?·2t4－t2t2－23t2??
＝＝4＝2－4.
2t4－2t2＋2??2t－1t－1?2?－2t·?t－1－??3t2???t
令m＝t2－2，则m>0，
S1m1
＝2－2＝2－≥2－S23m＋4m＋3m＋＋42 m
13m·＋4m
＝1＋
3. 2
S13
当m＝3时，取得最小值1＋，此时G(2,0)．
S22
5．(2019·北京卷)已知拋物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)． (1)求拋物线C的方程及其准线方程；
(2)设O为原点，过拋物线C的焦点作斜率不为0的直线l交拋物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
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解析：本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．
(1)将点(2，－1)代入抛物线方程：22＝2p×(－1)可得：p＝－2， 故抛物线方程为：x2＝－4y，其准线方程为：y＝1. (2)很明显直线l的斜率存在，焦点坐标为(0，－1)，
设直线方程为y＝kx－1，与抛物线方程x2＝－4y联立可得：x2＋4kx－4＝0. 故：x1＋x2＝－4k，x1x2＝－4.
x1x2x1
x1，－?，N?x2，－?，则kOM＝－， 设M?4?4???4x2
kON＝－，
4
44x1
，－1?，同理可得B?，－1?， 直线OM的方程为y＝－x，与y＝－1联立可得：A??x1??x2?42222
＋，－1?，圆的半径为：?－?， 易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：??xx??xx?1
2
1
2
2
2
22?222?x1＋x2?
且：＋＝＝2k，??x1－x2?＝2×x1x2x1x2
?x1＋x2?2－4x1x2
＝2|x1x2|
k2＋1，
则圆的方程为：(x－2k)2＋(y＋1)2＝4(k2＋1)，
令x＝0整理可得：y2＋2y－3＝0，解得：y1＝－3，y2＝1， 即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0，－3)，(0,1)．
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