§5.1 平面向量的概念及线性运算
最新考纲 1.通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.通过实例，掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.3.通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 加法 求两个向量和的运算 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 求a与b的相反向量－b的和的运算 减法 a－b＝a＋(－b) |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；λ(μa)＝(λμ)a；(λ当λ<0时，λa与a的＋μ)a＝λa＋μa； 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 方向相反；当λ＝0时，λ(a＋b)＝λa＋λb λa＝0 3.向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa. 概念方法微思考
1．若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？ 提示 不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa. 2．如何理解数乘向量？
提示 λa的大小为|λa|＝|λ||a|，方向要分类讨论：当λ>0时，λa与a同方向；当λ<0时，λa与a反方向；当λ＝0或a为零向量时，λa为零向量，方向不确定． 3．如何理解共线向量定理？
提示 如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a＝λb.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( √ ) (2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．( √ ) (3)若a∥b，b∥c，则a∥c.( × )
→→
(4)若向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．( × ) (5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．( √ ) (6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( × ) 题组二 教材改编
→→→→
2．已知?ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA＝a，OB＝b，则DC＝________，BC＝________.(用a，b表示) 答案 b－a －a－b
→→→→
解析 如图，DC＝AB＝OB－OA＝b－a，
→→→→→
BC＝OC－OB＝－OA－OB＝－a－b.
→→→→
3．在平行四边形ABCD中，若|AB＋AD|＝|AB－AD|，则四边形ABCD的形状为________． 答案 矩形
→→→
解析 如图，因为AB＋AD＝AC，
→→→AB－AD＝DB， →→所以|AC|＝|DB|.
由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形． 题组三 易错自纠
4．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 答案 A
解析 若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.
若a∥b，则a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．
5．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________. 1答案 2
解析 ∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数
??λ＝μ，
μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则?
?1＝2μ，?
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
1
解得λ＝μ＝. 2
12→→→
6．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，
23λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 1
答案 2
→→→1→2→解析 DE＝DB＋BE＝AB＋BC
231→2→→1→2→
＝AB＋(BA＋AC)＝－AB＋AC， 2363121∴λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝. 632
题型一 平面向量的概念1．给出下列命题：
①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；
→→
③若A，B，C，D是不共线的四点，且AB＝DC，则ABCD为平行四边形； ④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；
⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中真命题的序号是________． 答案 ③
解析 ①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；
②错误，若b＝0，则a与c不一定共线；
→→→→→→
③正确，因为AB＝DC，所以|AB|＝|DC|且AB∥DC；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；
④错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件；
⑤错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线． 故填③.
2．判断下列四个命题：
①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|.其中正确的个数是( ) A．1B．2C．3D．4 答案 A
解析 只有④正确．
思维升华向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度．
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．
(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线．
题型二 平面向量的线性运算
命题点1 向量加、减法的几何意义
例1(2017·全国Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则( ) A．a⊥b C．a∥b 答案 A
解析 方法一 ∵|a＋b|＝|a－b|， ∴|a＋b|＝|a－b|.
∴a＋b＋2a·b＝a＋b－2a·b. ∴a·b＝0.∴a⊥b. 故选A.
方法二 利用向量加法的平行四边形法则． →→
在?ABCD中，设AB＝a，AD＝b， →→
由|a＋b|＝|a－b|知，|AC|＝|DB|，
从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b. 故选A.
命题点2 向量的线性运算
→→
例2(1)在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设AB＝a，AD＝b，→
则向量BF等于( ) 12A.a＋b 3312C．－a＋b
33答案 C
→2→2→→解析 BF＝BE＝(BC＋CE)
33
12
B．－a－b
3312D.a－b 33
2
2
2
2
2
2
B．|a|＝|b| D．|a|>|b|
2?1?12
＝?b－a?＝－a＋b， 3?2?33故选C.
→
(2)(2018·全国Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB等于( ) 3→1→A.AB－AC 44
1→3→
B.AB－AC 44
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