GCD矩阵的一种推广

GCD矩阵的一种推广

韩海清,刘花璐

【摘 要】摘要: 本文研究了有限个正整数直积上的GCD矩阵.利用M¨obius反演得到了直积上的GCD矩阵性质和GCD矩阵行列式的计算方法.进一步,把正整数直积上的GCD矩阵推广到一般偏序集直积上,得到了广义GCD矩阵的性质. 【期刊名称】数学杂志 【年(卷),期】2012(032)003 【总页数】6

【关键词】关键词:GCD 矩阵;交半格;交矩阵;广义Euler函数;M¨obius反演

1 引言

文献[1]和[2]中,Beslin和Ligh定义了正整数集S={x1,x2,...,xn}上的最大公因子矩阵[S],[S]=(sij),其中sij=gcd(xQi,xj),简称GCD 矩阵,文献[2]还证明了[S]是正定的.文献[3]中证明:是FC集,这里?指Euler函数,FC集是指若x∈S,则x所有的正因子也全属于[S]f=(f((xi,xj)))n×n,f((xi,xj)),f

S.文献[4]和文献[5]中定义了矩阵是指算术函数.若

S

是

FC

集,则

[6]det[S]f=(f?μ)(x1)(f?μ)(x2)...(f?μ)(xn),这里f?μ 是指f 与M¨obius函数 μ 的卷积.文献[7–12]中对文献[2]和文献[3]的内容作进一步研究,得出了一些结果.本文参考了文献[7–12]对GCD矩阵作了一点新的推广.引入如下概念.

定义1.1设U是一个偏序关系为p的偏序集.称U为交半格,如果?x,y∈U存在唯一的ω∈U满足: (1)ωpx且ωpy;

(2)若存在z∈U使得zpx且zpy,那么zpω.称ω为x和y的交,记为ω=(x,y)p.