13.5复 数
考情分析
高考中对复数的考查多以选择题、填空题的形式出现，单独 基础知识
1、复数的概念：形如a+bi(a,b?R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部，若b=0时，a+bi为实数，当a?0时a+bi为虚数，当a?0且b?0时a+bi为纯虚数，当两个复数不是实数时不能比较大小。两个复数相等：当且仅当实部与实部相等，虚部与虚部相等 2、复数的运算：设z1?a?bi,z2?c?di[:
（1）加减法：z1?z2?(a?c)?(b?d)i（2）乘法：z1z2?(ac?bd)?(ad?bc)i （3）除法：
z1ac?bdbc?ad??i z2c2?d2c2?d24k3、常用结论：（1）i2?1,i4k?1?i,i4k?2??1,i4k?3??i，im?im?1?im?2?im?3?0
2（2）(1?i)?2i,(1?i)??2i（3）
131?i1?i则?3?1,?2??,1????2?0 ????i，?i,??i（4）
221?i1?i一一对应4、复数的几何意义：1、OZ?复数z?a?bi?一一对应（a，b）（2）复数的模复平面内的点Z（a，b）到原点O的距离，一般的|z1?z2|表示z1与z2对应点间的距离。 |z|?a2?b2?|OZ|，它表示点Z注意事项
1.任意两个复数全是实数时能比较大小，其他情况不能比较大小． 2. (1)i＝1，i
4n
4n＋1
＝i，i
4n＋2
＝－1，i
4n＋3
＝－i，i＋i
nn＋1
＋i
n＋2
＋i
n＋3
＝0(各式中n∈N)．
1＋i1－i2
(2)(1±i)＝±2i，＝i，＝－i.
1－i1＋i题型一 复数的有关概念
【例1】设z＝(2t＋5t－3)＋(t－2t＋2)i(t∈R)，则下列 A. z的对应点Z在第一象限
C. z不是纯虚数 答案：D
解析：由于2t＋5t－3的符号无法确定，故A、B错，由于t－2t＋2＝(t－1)＋1≠0，故z是虚数． z1z1
【变式1】 已知a∈R，复数z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若为纯虚数，则复数的虚部为________．
z2z2解析 ＝
z12＋ai
＝＝z21－2i
＋－
＋＋
2
2
2
2
2
B. z的对应点Z在第四象限 D. z是虚数
2－2aa＋4
＋i， 55
z12－2aa＋4z1∵为纯虚数，∴＝0，≠0，∴a＝1.故的虚部为1. z255z2答案 1
题型二 复数的几何意义
z1
【例2】设复数z1＝1－3i，z2＝3－2i，则在复平面内对应的点在( )
z2A. 第一象限 C. 第三象限 答案：D
z11－3i
解析：因为＝＝
z23－2i限，选D.
1＋i2 012
【变式2】复数＋i对应的点位于复平面内的第________象限．
1－i解析
1＋i2 012
＋i＝i＋1.故对应的点(1,1)位于复平面内第一象限． 1－i
－－
＋＋
9－7iz197＝，所以在复平面内对应的点为(，－)，在第四象
13z21313B. 第二象限 [: D. 第四象限[:
答案 一
题型三 复数的运算
2＋i1
【例3】已知i为虚数单位，复数z＝，则|z|＋＝( )
1－2izA. i C. 1＋i 答案：B
2＋i－2i＋i
解析：由已知得z＝＝＝1－2i1－2i11
|z|＋＝|i|＋＝1－i，选B.
zi
2
B. 1－i D. －i
－
1－2i
＝i，
?1＋i?2018＝( )．
【变式3】 i为虚数单位，则??
?1－i?
A．－i B．－1 C．i D．1 1＋i
解析 因为＝
1－i答案 A [:
重难点突破
【例4】复数z1＝3＋4i，z2＝0，z3＝c＋(2c－6)i在复平面内对应的点分别为A、B、C，若∠BAC是钝角，求实数c的取值范围．
解：在复平面内三点坐标分别为 A(3,4)，B(0,0)，C(c,2c－6)，
＋
2
＋
＝i，所以原式＝i
2018
＝i
4×502＋3
＝i＝－i.
3
→→
由∠BAC是钝角得AB·AC<0且B、A、C不共线， 49
由(－3，－4)·(c－3,2c－10)<0，解得c>，
11
→→
其中当c＝9时，AC＝(6,8)＝－2AB，B、A、C三点共线， 故c≠9.∴c的取值范围是c>巩固提高
1.复数
2＋i
的共轭复数是( ) 1－2i
3
B. i 5D. i
49
且c≠9. 11
3
A. －i
5C. －i 答案：C 2＋i
解析：∵＝
1－2i
＋－
＋＋
＝
2＋i＋4i－2
＝i，
5
2＋i∴的共轭复数为－i. 1－2i故应选C.
2. 若复数(a＋i)在复平面内对应的点在y轴负半轴上，则实数a的值是( ) A. 1 C. 2 答案：B
解析：因为复数(a＋i)＝(a－1)＋2ai，所以其在复平面内对应的点的坐标是(a－1,2a)，又因为该点在y
??a－1＝0
轴负半轴上，所以有?
??2a<0
2
2
2
2
2
B. －1 D. －2
，解得a＝－1，选B.
2
3. 若纯虚数z满足(2－i)z＝4－b(1＋i)(其中i是虚数单位，b是实数)，则b＝( ) A. －2 C. －4 答案：C
解析：设z＝ai(a≠0)，则有(2－i)·ai＝4－2bi，即a＋2ai＝4－2bi，即a＝4,2a＝－2b，解得b＝－4. 4.已知M＝{1,2，(a－3a－1)＋(a－5a－6)i}，N＝{－1,3}，M∩N＝{3}，则实数a＝________. 答案：－1
解析：由题意知3∈M，
故(a－3a－1)＋(a－5a－6)i＝3，
2
22
2
B. 2 D. 4
?a－3a－1＝3?所以?2
??a－5a－6＝0
2
23
，解得a＝－1.
3
2018
5.已知复数z＝i＋i＋i＋…＋i答案：i
解析：z＝i＋i＋i＋…＋ii＋1∴z＝＝1－i
＋2
2
2
2018
，则z＝________.[:
＝
－i1－i
2013
i－i＝，
1－i
2014
＝i.
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