专题11平面解析几何解答题
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历年高考真题汇编
年份 2019 2018 2017 2016 2015 2014 2013 2012 2011 2010 考点 椭圆 椭圆 椭圆 椭圆 椭圆 椭圆 椭圆 椭圆 椭圆 椭圆 试题位置 2019年北京文科19 2018年北京文科20 2017年北京文科19 2016年北京文科19 2015年北京文科20 2014年北京文科19 2013年北京文科19 2012年北京文科19 2011年北京文科19 2010年北京文科19 1．【2019年北京文科19】已知椭圆C：（Ⅰ）求椭圆C的方程；
1的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）．
（Ⅱ）设O为原点，直线l：y＝kx+t（t≠±1）与椭圆C交于两个不同点P、Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N．若|OM|?|ON|＝2，求证：直线l经过定点．
【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：可得b＝c＝1，a，
1的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）．
则椭圆方程为
y2＝1；
2
2
2
2
2
（Ⅱ）证明：y＝kx+t与椭圆方程x+2y＝2联立，可得（1+2k）x+4ktx+2t﹣2＝0， 设P（x1，y1），Q（x2，y2），
1
△＝16kt﹣4（1+2k）（2t﹣2）＞0，x1+x2
2222
，x1x2，
AP的方程为yx+1，令y＝0，可得y，即M（，0）；
AQ的方程为yx+1，令y＝0，可得y．即N（，0）．
（1﹣y1）（1﹣y2）＝1+y1y2﹣（y1+y2）＝1+（kx1+t）（kx2+t）﹣（kx1+kx2+2t）
＝（1+t﹣2t）+k?
22
（kt﹣k）（?），
|OM|?|ON|＝2，即为|
2
2
?|＝2，
即有|t﹣1|＝（t﹣1），由t≠±1，解得t＝0，满足△＞0， 即有直线l方程为y＝kx，恒过原点（0，0）．
2．【2018年北京文科20】已知椭圆M：直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B． （Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若k＝1，求|AB|的最大值；
1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．斜率为k的
（Ⅲ）设P（﹣2，0），直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D．若C，D和点Q（，）共线，求k．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：2c＝2，则c，椭圆的离心率e，则a，
b2＝a2﹣c2＝1，
∴椭圆的标准方程：；
（Ⅱ）设直线AB的方程为：y＝x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
2
联立，整理得：4x+6mx+3m﹣3＝0，△＝（6m）﹣4×4×3（m﹣1）＞0，整理得：m＜4，
22222
x1+x2，x1x2，
∴|AB|
∴当m＝0时，|AB|取最大值，最大值为
；
，
（Ⅲ）设直线PA的斜率kPA，直线PA的方程为：y（x+2），
联立，消去y整理得：（x1+4x1+4+3y1）x+12y1x+（12y1﹣3x1﹣12x1﹣12）＝0，
222222
由代入上式得，整理得：（4x1+7）x+（12﹣4x1）x﹣（7x1+12x1）＝0，
222
x1?xC，xC，则yC（2），
则C（，），同理可得：D（，），
由Q（，），则（，），（，），
由与共线，则，
整理得：y2﹣x2＝y1﹣x1，则直线AB的斜率k∴k的值为1．
1，
3．【2017年北京文科19】已知椭圆C的两个顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为
3
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E．求证：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．
【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程：（a＞b＞0），
则a＝2，e，则c，
b2＝a2﹣c2＝1，
∴椭圆C的方程；
（Ⅱ）证明：设D（x0，0），（﹣2＜x0＜2），M（x0，y0），N（x0，﹣y0），y0＞0，
则直线AM的斜率kAM，直线DE的斜率kDE，
直线DE的方程：y（x﹣x0），
直线BN的斜率kBN，直线BN的方程y（x﹣2），
，解得：
过E做EH⊥x轴，△BHE∽△BDN，
，
则|EH|，
则，
∴：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．
4
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