4．【2016年北京文科19】已知椭圆C：（1）求椭圆C的方程及离心率；
1过点A（2，0），B（0，1）两点．
（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．
【解答】（1）解：∵椭圆C：∴a＝2，b＝1，则
1过点A（2，0），B（0，1）两点， ，
∴椭圆C的方程为（2）证明：如图，
，离心率为e；
设P（x0，y0），则，PA所在直线方程为y，
取x＝0，得；
，PB所在直线方程为，
取y＝0，得．
5
∴|AN|，
|BM|＝1．
∴
．
∴四边形ABNM的面积为定值2．
5．【2015年北京文科20】已知椭圆C：x+3y＝3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于
2
2
A，B两点，直线AE与直线x＝3交于点M．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；
（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由． 【解答】解：（1）∵椭圆C：x+3y＝3，
2
2
∴椭圆C的标准方程为：∴a，b＝1，c，
y2＝1，
∴椭圆C的离心率e；
（2）∵AB过点D（1，0）且垂直于x轴， ∴可设A（1，y1），B（1，﹣y1），
6
∵E（2，1），∴直线AE的方程为：y﹣1＝（1﹣y1）（x﹣2）， 令x＝3，得M（3，2﹣y1），
∴直线BM的斜率kBM（3）结论：直线BM与直线DE平行． 证明如下：
1；
当直线AB的斜率不存在时，由（2）知kBM＝1，
又∵直线DE的斜率kDE1，∴BM∥DE；
当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝k（x﹣1）（k≠1）， 设A（x1，y1），B（x2，y2），
则直线AE的方程为y﹣1（x﹣2），
令x＝3，则点M（3，），
∴直线BM的斜率kBM联立
2
2
2
，
2
，得（1+3k）x﹣6kx+3k﹣3＝0，
由韦达定理，得x1+x2，x1x2，
∵kBM﹣1
7
＝0，
∴kBM＝1＝kDE，即BM∥DE；
综上所述，直线BM与直线DE平行．
6．【2014年北京文科19】已知椭圆C：x+2y＝4． （Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．
2
2
【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：x+2y＝4化为标准方程为∴a＝2，b，c，
22
，
∴椭圆C的离心率e；
（Ⅱ）设A（t，2），B（x0，y0），x0≠0，则 ∵OA⊥OB， ∴
0，
∴tx0+2y0＝0，∴t∵
，
，
∴|AB|＝（x0﹣t）+（y0﹣2）＝（x0
222
）+（y0﹣2）＝x0+y0
2222
4＝
x02
44（0＜x0≤4），
2
因为4（0＜x0≤4），当且仅当
．
2
，即x0＝4时等号成立，所以|AB|≥8．
22
∴线段AB长度的最小值为2
7．【2013年北京文科19】直线y＝kx+m（m≠0）与椭圆相交于A，C两点，O是坐标原点．
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