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2019年北京市高考数学试卷（理科）
一、选择题 共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知复数z?2?i，则zgz?( ) A．3 B．5
C．3
D．5
2．执行如图所示的程序框图，输出的s值为( )
A．1
B．2
C．3 D．4
?x?1?3t,(t为参数）3．已知直线l的参数方程为?，则点(1,0)到直线l的距离是( )
y?2?4t?1246A． B． C． D．
5555x2y214．已知椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率为，则( )
ab2A．a2?2b2 B．3a2?4b2 C．a?2b D．3a?4b
5．若x，y满足|x|?1?y，且y…?1，则3x?y的最大值为( ) A．?7
B．1
C．5
D．7
6．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足
5Em2?m1?lg1，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k?1,2)．已知太阳的星等是?26.7，天
2E2狼星的星等是?1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
D．10?10.1 uuuruuuruuuruuuruuur7．设点A，B，C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB?AC|?|BC|”的(
B．10.1
C．lg10.1
A．1010.1
)
A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 图）．给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
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B．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
8．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C:x2?y2?1?|x|y就是其中之一（如
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②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是( )
A．①
B．②
C．①② D．①②③
二、填空题 共6小题，每小题5分，共30分。 9．函数f(x)?sin22x的最小正周期是 ．
10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2??3，S5??10，则a5? ，Sn的最小值为 ．
11．某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为l，那么该几何体的体积为 ．
12．已知l，m是平面?外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l?m；②m//?；③l??．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ． 13．设函数f(x)?ex?ae?x(a为常数）．若f(x)为奇函数，则a? ；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是 ．
14．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x?10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 ．
三、解答题 共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
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115．（13分）在?ABC中，a?3，b?c?2，cosB??．
2（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）求sin(B?C)的值．
16．（14分）如图，在四棱锥P?ABCD中，PA?平面ABCD，AD?CD，AD//BC，
PF1PA?AD?CD?2，BC?3．E为PD的中点，点F在PC上，且?．
PC3（Ⅰ）求证：CD?平面PAD；
（Ⅱ）求二面角F?AE?P的余弦值；
PG2（Ⅲ）设点G在PB上，且?．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．
PB3
17．（13分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下： 支付金额（元) 支付方式 仅使用A 仅使用B 18人 10人 9人 14人 3人 1人 (0，1000] (1000，2000] 大于2000 （Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率； （Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由． 18．（14分）已知抛物线C:x2??2py经过点(2,?1)． （Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y??1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
13x?x2?x． 4（Ⅰ）求曲线y?f(x)的斜率为l的切线方程；
19．（13分）已知函数f(x)?第3页（共18页）
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（Ⅱ）当x?[?2，4]时，求证：x?6剟f(x)x；
（Ⅲ）设F(x)?|f(x)?(x?a)|(a?R)，记F(x)在区间[?2，4]上的最大值为M（a）．当M（a）最小时，求a的值．
20．（13分）已知数列{an}，从中选取第i1项、第i2项、?、第im项(i1?i2???im)，若ai1?ai2???aim，则称新数列ai1，ai2，?，aim为{an}的长度为m的递增子列．规定：数
列{an}的任意一项都是{an}的长度为1的递增子列．
（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；
（Ⅱ）已知数列{an}的长度为p的递增子列的末项的最小值为am0，长度为q的递增子列的末项的最小值为an0．若p?q，求证：am0?an0；
（Ⅲ）设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{an}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s?1，且长度为s末项为2s?1的递增子列恰有2s?1个(s?1，2，?)，求数列{an}的通项公式．
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2019年北京市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题 共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知复数z?2?i，则zgz?( ) A．3 B．5
C．3
D．5
【思路分析】直接由zgz?|z|2求解．
【解析】：Qz?2?i，?zgz?|z|2?(22?12)2?5．故选：D． 【归纳与总结】本题考查复数及其运算性质，是基础的计算题． 2．执行如图所示的程序框图，输出的s值为( )
A．1
B．2
C．3 D．4
【思路分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解析】：模拟程序的运行，可得 k?1，s?1 s?2
不满足条件k…3，执行循环体，k?2，s?2 不满足条件k…3，执行循环体，k?3，s?2 此时，满足条件k…3，退出循环，输出s的值为2． 故选：B．
【归纳与总结】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
?x?1?3t,(t为参数）3．已知直线l的参数方程为?，则点(1,0)到直线l的距离是( )
?y?2?4t1246A． B． C． D．
5555【思路分析】消参数t化参数方程为普通方程，再由点到直线的距离公式求解．
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