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（Ⅱ）求sin(B?C)的值．
【思路分析】（Ⅰ）利用余弦定理可得b2?a2?c2?2accosB，代入已知条件即可得到关于b的方程，解方程即可；
（Ⅱ）sin(B?C)?sinBcosC?cosBsinC，根据正弦定理可求出sinC，然后求出cosC，代入即可得解．
1【解析】：（Ⅰ）Qa?3，b?c?2，cosB??．
2?由余弦定理，得b2?a2?c2?2accosB?9?(b?2)2?2?3?(b?2)?(?)，
12?b?7，?c?b?2?5；
31（Ⅱ）在?ABC中，QcosB??，?sinB?，
22由正弦定理有：
csinBcb?，?sinC??bsinCsinB11Qb?c，?B?C，?C为锐角，?cosC?，
1431115343． ?sin(B?C)?sinBcosC?cosBsinC???(?)??21421475?32?53， 714【归纳与总结】本题考查了正弦定理余弦定理和两角差的正弦公式，属基础题．
16．（14分）如图，在四棱锥P?ABCD中，PA?平面ABCD，AD?CD，AD//BC，
PF1PA?AD?CD?2，BC?3．E为PD的中点，点F在PC上，且?．
PC3（Ⅰ）求证：CD?平面PAD；
（Ⅱ）求二面角F?AE?P的余弦值；
PG2（Ⅲ）设点G在PB上，且?．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．
PB3
【思路分析】（Ⅰ）推导出PA?CD，AD?CD，由此能证明CD?平面PAD．
（Ⅱ）以A为原点，在平面ABCD内过A作CD的平行线为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F?AE?P的余弦值．
uuurr422r42ruuu（Ⅲ）求出AG?(，0，)，平面AEF的法向量m?(1，1，?1)，mgAG????0，
33333从而直线AG不在平面AEF内．
【解答】证明：（Ⅰ）QPA?平面ABCD，?PA?CD， QAD?CD，PAIAD?A，
?CD?平面PAD．
第11页（共18页）
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解：（Ⅱ）以A为原点，在平面ABCD内过A作CD的平行线为x轴，
AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
224A(0，0，0)，E(1，0，1)，F(，，)，P(0，0，2)，
333uuuruuur224AE?(1，0，1)，AF?(,,)，
333r平面AEP的法向量n?(1，0，0)，
r设平面AEF的法向量m?(x，y，z)，
rruuu?mgAE?x?z?0r?则?ruuu，取x?1，得m?(1，1，?1)， r224?mgAF?x?y?z?0333?rr|mgn|13?设二面角F?AE?P的平面角为?，则cos??rr?．
|m|g|n|33?二面角F?AE?P的余弦值为3． 3（Ⅲ）直线AG不在平面AEF内，理由如下：
PG242Q点G在PB上，且?．?G(，0，)，
PB333uuur42?AG?(，0，)，
33rQ平面AEF的法向量m?(1，1，?1)，
r422ruuumgAG????0，
333故直线AG不在平面AEF内．
【归纳与总结】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查直线是否在已知平面内的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
17．（13分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下： 支付金额（元) (0，1000] (1000，2000] 大于2000 第12页（共18页）
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支付方式 仅使用A 仅使用B 18人 10人 9人 14人 3人 1人 （Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率； （Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．
【思路分析】（Ⅰ）从全校所有的1000名学生中随机抽取的100人中，A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，从而A，B两种支付方式都使用的人数有40人，由此能求出从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，
B两种支付方式都使用的概率．
（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，则X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望E(X)．
（Ⅲ）从样本仅使用A的学生有30人，其中27人月支付金额不大于2000元，有3人月支付金额大于2000元，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元的概率为
3C31p?3?，不能认为认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有
C304060变化．
【解析】：（Ⅰ）由题意得：
从全校所有的1000名学生中随机抽取的100人中，
A，B两种支付方式都不使用的有5人，
仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，
?A，B两种支付方式都使用的人数有：100?5?30?25?40，
?从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率
40?0.4． 100（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支p?付金额大于1000元的人数， 则X的可能取值为0，1，2，
样本仅使用A的学生有30人，其中支付金额在(0，1000]的有18人，超过1000元的有12人，
样本仅使用B的学生有25人，其中支付金额在(0，1000]的有10人，超过1000元的有15人， P(X?0)?18101806???， 302575025第13页（共18页）
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1815121039013?????， 302530257502512151806， P(X?2)????302575025?X的分布列为： P(X?1)? X P 0 1 2 6136 2525256136数学期望E(X)?0??1??2??1．
252525（Ⅲ）不能认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，
理由如下：
从样本仅使用A的学生有30人，其中27人月支付金额不大于2000元，有3人月支付金额大于2000元，
3C31随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元的概率为p?3?，
C3040601． 4060故不能认为认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化．
虽然概率较小，但发生的可能性为
【归纳与总结】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题． 18．（14分）已知抛物线C:x2??2py经过点(2,?1)． （Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y??1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
【思路分析】（Ⅰ）代入点(2,?1)，解方程可得p，求得抛物线的方程和准线方程； （Ⅱ）抛物线x2??4y的焦点为F(0,?1)，设直线方程为y?kx?1，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及直线的斜率和方程，求得A，可得AB为直径的圆方程，可令x?0，B的坐标，解方程，即可得到所求定点．
【解析】：（Ⅰ）抛物线C:x2??2py经过点(2,?1)．可得4?2p，即p?2， 可得抛物线C的方程为x2??4y，准线方程为y?1； （Ⅱ）证明：抛物线x2??4y的焦点为F(0,?1)，
设直线方程为y?kx?1，联立抛物线方程，可得x2?4kx?4?0， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
可得x1?x2??4k，x1x2??4，
yx直线OM的方程为y?1x，即y??1x，
x14yx直线ON的方程为y?2x，即y??2x，
x24第14页（共18页）
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44，?1)，B(，?1)， x1x211?4k可得AB的中点的横坐标为2(?)?2g?2k，
x1x2?4可得A(即有AB为直径的圆心为(2k,?1)，
|AB|14416k2?16?|?|?2g?21?k2， 半径为22x1x24可得圆的方程为(x?2k)2?(y?1)2?4(1?k2)， 化为x2?4kx?(y?1)2?4， 由x?0，可得y?1或?3．
则以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0,1)，(0,?3)．
【归纳与总结】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及圆方程的求法，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
119．（13分）已知函数f(x)?x3?x2?x．
4（Ⅰ）求曲线y?f(x)的斜率为l的切线方程； （Ⅱ）当x?[?2，4]时，求证：x?6剟f(x)x；
（Ⅲ）设F(x)?|f(x)?(x?a)|(a?R)，记F(x)在区间[?2，4]上的最大值为M（a）．当M（a）最小时，求a的值．
【思路分析】（Ⅰ）求导数f?(x)，由f?(x)?1求得切点，即可得点斜式方程；
（Ⅱ）把所证不等式转化为?6剟再令g(x)?f(x)?x，利用导数研究g(x)在[?2，f(x)?x0，4]的单调性和极值点即可得证；
（Ⅲ）先把F(x)化为|g(x)?a|，再利用（Ⅱ）的结论，引进函数h(t)?|t?a|，结合绝对值函数的对称性，单调性，通过对称轴t?a与?3的关系分析即可．
3【解析】：（Ⅰ）f?(x)?x2?2x?1，
48由f?(x)?1得x(x?)?0，
38得x1?0,x2?．
388又f(0)?0，f()?，
32788?y?x和y??x?，
27364即y?x和y?x?；
27（Ⅱ）证明：欲证x?6剟f(x)x， 只需证?6剟f(x)?x0，
1令g(x)?f(x)?x?x3?x2，x?[?2，4]，
4338则g?(x)?x2?2x?x(x?)，
443第15页（共18页）
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