即入口F的选址需满足BF的长度范围是[4?23,2](单位:km).……6分 (2)因为S1?2S?AEG?AE?AG??a?故该商业区的环境舒适度指数
??1?1231?a?a?2a?, ???a?aS2SABCD?S1SABCD8???1??1, ……9分 S1S1S1S1所以要使
S2最大,只需S1最小. S13设S1?f?a??a?2a?则
1,a?[2?3,1], ……10分 a222423a?13a?1a?1?3a?1a?1?????13a?2a?12f??a??3a?2?2???22aaaa233令f??a??0,得a?或a??(舍), ………12分
33????a,f??a?,f?a?的情况如下表:
2?3
?3?2?3,????3??
减
33
0 极小
?3???3,1???? ?
增
1
f??a?f?a?故当a?
32,即入口F满足BF?3km时,该商业区的环境舒适度指数最大16分 3320.解:(1)
Qf?x???ax?lnx,
, 1?f??x???ax?1??a?3,设切点横坐标为x0,则?x0 …………2分
??ax?lnx?3x?1,000?消去,得lnx0?0,故x0?1,得a??2. ………4分 (2)f??x??①当a?111?a,1?x?e2,2??1, xex122?????时,在上恒成立,在上单调递增, 1,e1,efx?0fx????2????e9 / 11
则fmax?x??fe2?2?ae2?1?ae,得a???11,舍去; ……………5分 ?e2?ee222???②当a?1时,f??x??0在?上恒成立,在1,e1,efx??????上单调递减,
则fmax?x??f?1???a?1?ae,得a?1?1,舍去; ………6分 e?1??111?f??x??0?f??x??02③当2?a?1时,由?,得1?x?;由?,得?x?e,
22eaa???1?x?e?1?x?e故f?x?在?1,?上单调递增,在?,e?上单调递减,
aa2?1????1???则fmax?x??f??1????1?lna?1?ae,得ae?2?lna?0, ……8分 a??1?1??1??,1ga?e?,a?,则????2,1? 2a?e??e?设g?a??ae?2?lna,a??当a??1?11??,时,ga?e??0,g?a?单调递减, ???2eea??1?0,g?a?单调递增, a1. e当a??,1?时g??a??e??1??e?故gmin?a??g???0,?ae?2?lna?0的解为a?综上①②③,a??1??e?1. ……………10分 e(3)方程ln2x2?x?3t?x2?x?t?ln?x?t?可化为
??ln?2x2?x?3t??令h?x??lnx?1122x?x?3t?lnx?t????x?t?, ??221x,故原方程可化为h?2x2?x?3t??h?x?t?,………12分 2?2x2?x?3t?x?t由(2)可知h?x?在?0,???上单调递增,故?有且仅有唯一实数根,
x?t?0?即方程x?x?t?0(※)在?t,???上有且仅有唯一实数根, ……………13分
2①当??4t?1?0,即t??②当??0,即t??111时,方程(※)的实数根为x???,满足题意; 4241时,方程(※)有两个不等实数根,记为x1,x2,不妨设x1?t,x2?t, 410 / 11
2Ⅰ)若x1?t,x2?t,代入方程(※)得t?2t?0,得t?0或t?2,
当t?0时方程(※)的两根为0,1,符合题意; 当t?2时方程(※)的两根为2,?1,不合题意,舍去;
Ⅱ)若x1?t,x2?t,设??x??x2?x?t,则??t??0,得0?t?2; 综合①②,实数的取值范围为0?t?2或t??
1. …………16分 411 / 11
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