即入口F的选址需满足BF的长度范围是[4?23,2]（单位：km）.……6分 （2）因为S1?2S?AEG?AE?AG??a?故该商业区的环境舒适度指数
??1?1231?a?a?2a?， ???a?aS2SABCD?S1SABCD8???1??1， ……9分 S1S1S1S1所以要使
S2最大，只需S1最小. S13设S1?f?a??a?2a?则
1,a?[2?3,1], ……10分 a222423a?13a?1a?1?3a?1a?1?????13a?2a?12f??a??3a?2?2???22aaaa233令f??a??0，得a?或a??（舍）， ………12分
33????a,f??a?,f?a?的情况如下表：
2?3
?3?2?3,????3??
减
33
0 极小
?3???3,1???? ?
增
1
f??a?f?a?故当a?
32，即入口F满足BF?3km时，该商业区的环境舒适度指数最大16分 3320．解：（1）
Qf?x???ax?lnx，
, 1?f??x???ax?1??a?3,设切点横坐标为x0，则?x0 …………2分
??ax?lnx?3x?1,000?消去，得lnx0?0，故x0?1，得a??2. ………4分 （2）f??x??①当a?111?a,1?x?e2,2??1, xex122?????时，在上恒成立，在上单调递增， 1,e1,efx?0fx????2????e9 / 11
则fmax?x??fe2?2?ae2?1?ae，得a???11,舍去; ……………5分 ?e2?ee222???②当a?1时，f??x??0在?上恒成立，在1,e1,efx??????上单调递减，
则fmax?x??f?1???a?1?ae，得a?1?1,舍去; ………6分 e?1??111?f??x??0?f??x??02③当2?a?1时，由?，得1?x?；由?，得?x?e，
22eaa???1?x?e?1?x?e故f?x?在?1,?上单调递增，在?,e?上单调递减，
aa2?1????1???则fmax?x??f??1????1?lna?1?ae，得ae?2?lna?0, ……8分 a??1?1??1??,1ga?e?,a?,则????2,1? 2a?e??e?设g?a??ae?2?lna,a??当a??1?11??,时，ga?e??0,g?a?单调递减， ???2eea??1?0,g?a?单调递增， a1. e当a??,1?时g??a??e??1??e?故gmin?a??g???0,?ae?2?lna?0的解为a?综上①②③，a??1??e?1. ……………10分 e（3）方程ln2x2?x?3t?x2?x?t?ln?x?t?可化为
??ln?2x2?x?3t??令h?x??lnx?1122x?x?3t?lnx?t????x?t?， ??221x，故原方程可化为h?2x2?x?3t??h?x?t?，………12分 2?2x2?x?3t?x?t由（2）可知h?x?在?0,???上单调递增，故?有且仅有唯一实数根，
x?t?0?即方程x?x?t?0（※）在?t,???上有且仅有唯一实数根， ……………13分
2①当??4t?1?0，即t??②当??0，即t??111时，方程（※）的实数根为x???，满足题意； 4241时，方程（※）有两个不等实数根，记为x1,x2,不妨设x1?t,x2?t, 410 / 11
2Ⅰ）若x1?t,x2?t,代入方程（※）得t?2t?0，得t?0或t?2，
当t?0时方程（※）的两根为0,1，符合题意； 当t?2时方程（※）的两根为2,?1，不合题意，舍去；
Ⅱ）若x1?t,x2?t,设??x??x2?x?t，则??t??0，得0?t?2； 综合①②，实数的取值范围为0?t?2或t??
1. …………16分 411 / 11
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