2007年普通高等学校招生全国统一考试全国

2007年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷II）

数学（文科）试卷

参考答案

一、选择题

1．C 2．B 3．C 4．D 5．C 6．A 7．A 8．A 9．C 10．D 11．D 12．B

二、填空题 13．

1 20

?5n2?n14．

215．2?42 三、解答题

a1(1?qn)17．解：由题设知a1?0，Sn?，

1?q?a1q2?2，2a(1?q)?1．则?a1(1?q4)?5? ②

1?q?1?q?由②得1?q?5(1?q)，(q?4)(q?1)?0，(q?2)(q?2)(q?1)(q?1)?0， 因为q<1，解得q=-1或q=-2。

当q=-1时，代入①得a1=2，通项公式an?2?(?1)n?1； 当q=-2时，代入①得a1?

18．解：（1）△ABC的内角和A+B+C=π，由A?

应用正弦定理，知

422211n?1，通项公式an??(?2)。 22?2?，B>0，C>0得0?B?。

??

AC?BC23sinB?sinx?4sinx，

?sinAsin?

AB?BC?2??sinC?4sin??x?。 sinA??? 因为y=AB+BC+AC， 所以y?4sinx?4sin?

2???2????x??23?0?x??，

3?????

???1cosx?sinx?（2）因为y?4?sinx????23 ?2?? ?43si?nx?

?????????5????2?3?x???，

?????

所以，当x?????，即x?时，y取得最大值63。 ???19．（1）记A0表示事件“取出的2件产品中无二等品”，

A1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”。 则A0，互斥，且A= A0+ A1，故 P（A）=P（A0+ A1）

= P（A0）+P（A1）

?(1?p)2?C12p(1?p)

=1-p2

于是0.96=1-p2。

解得p1?0.2，p2??0.2（舍去）。

（2）记B0表示事件“取出的2件产品中无二等品”， 则B?B0。

2C80316若该批产品共100件，由（1）知其中二等品有100×0.2=20件，故P(B0)?2?。

C100495

P(B)?P(B0)?1?P(B0)?1?316179? 49549520．解法一：

（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点。

∥连结AG，FG 1∥AB， CD，又CD 2∥AE，AEFG为平行四边形。 故FG S

EF∥AG，又AG?平面SAD，EF?平面SAD。

所以EF∥平面SAD。

（2）不妨设CD=2，则SD=4，DG=2，△ADG为等 腰直角三角形。

取AG中点H，连结DH，则DH⊥AG。

又AB⊥平面SAD，所以AB⊥DH，而AB?AG?A， 所以DH⊥面AEF。

取EF中点M，连结MH，则MH⊥EF。 连结DM，则DM⊥EF。

故?DMH为二面角A—EF—D的平面角

z S A

D E

B

H G

F

M C

tan?DMH?DH2??2。 HM1所以二面角A—EF—D的大小为arctan2。

G 解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D—xyz。 设A（a，0，0），S（0，0，b），则B（a，a，0），C（0，

M D A x E F a，0）

C B A y ?a??ab?E?a，，0?，F?0，，?， ?2??22??????b?EF???a，0，?。

2???????b?b??取SD的中点G?0，0，?，则AG???a，0，?。

2?2???????????EF?AG，EF∥AG，AG?平面SAD，EF?平面SAD，

所以EF∥平面SAD。

（2）不妨设A（1，0，0），则B（1，1，0），C（0，1，0）S（0，0，2）E?1，，0?，F?0，，1?。

?1??2???1?2???111???????????????111?????EF中点M?，，?，MD???，?，??，EF?(?1，0，1)，MD?EF=0，MD⊥EF

222222????

??????????1????又EA??0，?，0?，EA?EF=0，EA⊥EF，

2???????????所以向量MD和EA的夹角等于二面角A—EF—D的平面角。

??????????????????MD?EA3 cos?MD，EA????????????3MD?EA所以二面角A—EF—D的大小为arccos

3。 321．解：（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x?3y?4的距离，

即

r?4?2。 1?3得圆O的方程为x2 +y2=4。

（2）不妨设A(x1，，，B（2，0） 0)B(x2，，0)x1?x2．由x2=4即得A（-2，0）设P（x，y），由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得

(x?2)2?y2?(x?2)2?y2?x2?y2，

即

x2 -y2=2。

????????PA?PB?(?2?x，?y)?(2?x，?y)

?x2?4?y2?2(y?1).2

22??x?y?4，由于点P在圆O内，故?2 2??x?y?2.由此得y2<1。

????????所以PA?PB的取值范围为[-2，0）。

222．解：求函数f（x）的导数f?(x)?ax?2bx?2?b。

（Ⅰ）由函数f（x）在x?x1处取得极大值，在x?x2处取得极小值，知x1，x2是f?(x)?0的两个根。 所以f?(x)?a(x?x1)(x?x2)

当x?x1时，f（x）为增函数，f?(x)?0，由x?x1?0，x?x2?0得a?0。

?f?(0)?0?2?b?0??（Ⅱ）在题设下，0?x1?1?x2?2等价于?f?(1)?0 即?a?2b?2?b?0。

?f?(2)?0?4a?4b?2?b?0???2?b?0?化简得?a?3b?2?0。

?4a?5b?2?0?此不等式组表示的区域为平面aOb上三条直线：

2?b?0，a?3b?2?0，4a?5b?2?0。

所围成的△ABC的内部，其三个顶点分别为：A?，?，B(2，，2)C(4，2)。

?46??77?b

166，8。 z在这三点的值依次为，7所以z的取值范围为?

?16?，8?。 7??2 1

B(2，2)

C(4，2)

?46?A?，? ?77?O 2 4

a