2011年—2017年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编
7．不等式、推理与证明
一、选择题
?x?3y?3,?【2017，7】设x，y满足约束条件?x?y?1,则z=x+y的最大值为（ ）
?y?0,?A．0 B．1 C．2 D．3
?x?y?a,【2014，11】11．设x，y满足约束条件?且z=x+ay的最小值为7，则a= ( )
x?y??1,?A．-5 B．3 C．-5或3 D．5或-3
【2012，5】5．已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象限，若点（x，y）在
△ABC内部，则z??x?y的取值范围是（ ）
A．（1?3，2） B．（0，2）
C．（3?1，2） D．（0，1?3）
二、填空题
【2016，16】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1．5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0．5kg，乙材料0．3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元．
?x?y?2?0?【2015,15】15．若x,y满足约束条件?x?2y?1?0，则z=3x+y的最大值为 ．
?2x?y?2?0?【2014，14】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为________． 【2013，14】设x，y满足约束条件??1?x?3,则z＝2x－y的最大值为______．
??1?x?y?0,?3?2x?y?9【2011，14】若变量x，y满足约束条件?，则z?x?2y的最小值为 ．
6?x?y?9?2011年—2017年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编
7．不等式、推理与证明（解析版）
一、选择题
?x?3y?3,?【2017，7】设x，y满足约束条件?x?y?1,则z=x+y的最大值为（ ）
?y?0,?A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】线性规划求目标函数最值问题 【答案】D
【解法】如图，目标函数z?x?y经过A(3,0)时最大，故zmax?3?0?3，故选D．
【2014，11】11．设x，y满足约束条件??x?y?a,且z=x+ay的最小值为7，则a= ( )B
?x?y??1,A．-5 B．3 C．-5或3 D．5或-3 解：联立x+y=a与x-y=-1解得交点M(a?1a?1a?1a?1?a??7，z取得最值解之得a=-5或a=3． 但,)，
2222a=-5时，z取得最大值，舍去，所以a=3，故选B．
【2012，5】5．已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z??x?y的取值范围是（ ）
A．（1?3，2） B．（0，2） 【解析】正△ABC内部如图所示，
A（1，1），B（1，3），C（1?3，2）．
C．（3?1，2） D．（0，1?3）
将目标函数z??x?y化为y?x?z， 显然在B（1，3）处，zmax??1?3?2；
在C（1?3，2）处，zmin??(1?3)?2?1?3．
因为区域不包括端点，所以1?3?z?2，故选择A．
二、填空题
【2016，16】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1．5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0．5kg，乙材料0．3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元． 解析：216000． 设生产产品A，B的件数分别为x,y，获得利润为z元，
?x,y?N?1.5x?0.5y?150?则x,y满足约束条件为：?，
x?0.3y?90???5x?3y?600目标函数为z?2100x?900y?300?7x?3y?，画出满足不等式组的可行域，如图所示．
y300200(60,100)O100x
7z?5x?3y?600?x?60联立?，得?，即A?60,100?．移动目标函数y??x?，
x?0.3y?90y?1003900??可得到当其经过点A?60,100?时，z有最大值216000．故填216000．
?x?y?2?0?【2015,15】15．若x,y满足约束条件?x?2y?1?0，则z=3x+y的最大值为 ．4 y ?2x?y?2?0③ ?解：作出可行域四边形ABC，如图．
画出直线l0：3x+y =0，平移l0到l，
当l经过点A时z最大，联立x+y-2=0与x-2y+2=0 解得交点A(1,1)，所以 zmax=4．
2 B A -1 C O 2 l0 ① ② x
【2014，14】14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为________． A
解：∵丙说：三人同去过同一个城市，甲说没去过B城市，乙说：我没去过C城市，∴三人同去过同一个城市应为Ａ，∴乙至少去过Ａ，若乙再去城市B，甲去过的城市至多两个，不可能比乙多，∴可判断乙去过的城市为A．
【2013，14】设x，y满足约束条件?答案：3
解析：画出可行域如图所示．
?1?x?3,则z＝2x－y的最大值为______．
?1?x?y?0,?
画出直线2x－y＝0，并平移，当直线经过点A(3,3)时，z取最大值，且最大值为z＝2×3－3＝3．
?3?2x?y?9【2011，14】若变量x，y满足约束条件?，则z?x?2y的最小值为 ．
6?x?y?9?y9 【解析】在坐标系中画出可行域，如下图．
可知当直线过点A时取得最小值，
由??2x?y?3?0?A(4,?5)，
x?y?9?0?3 O6 x?y?9?0
9 A 2x?y?3?0 x 可得A的坐标为(4,?5)，故z?x?2y的最小值为?6． 故答案为?6．
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