第2模块 第1节
[知能演练]
一、选择题 1．已知函数f(x)＝ax
－1
的定义域和值域都是[1,2]，则a的值是
( )
A.2
2
B．2 1D. 3
C.2
解析：当a>1时，f(x)为增函数，
11??a＝1，所以有?2－1解得a＝2；
?a＝2，?
－
当0 11??a＝2，所以有?2－1无解．所以a＝2. ?a＝1，? － 答案：B 2．由等式x3＋a1x2＋a2x＋a3＝(x＋1)3＋b1(x＋1)2＋b2(x＋1)＋b3，定义一个映射：f(a1，a2，a3)＝(b1，b2，b3)，则f(2,1，－1)等于 ( ) A．(－1,0，－1) C．(－1,0,1) B．(－1，－1,0) D．(－1,1,0) 解析：由题意知x3＋2x2＋x－1＝(x＋1)3＋b1(x＋1)2＋b2(x＋1)＋b3， 令x＝－1，得－1＝b3，即b3＝－1； ??－1＝1＋b1＋b2＋b3，再令x＝0与x＝1，得? ?3＝8＋4b1＋2b2＋b3，? 解得b1＝－1，b2＝0，故选A. 答案：A 3．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y＝f(x)(实线表示)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)(虚线表示)〔如f(2)＝3是指开始买卖后两个小时的即时价格为3元；g(2)＝3表示两个小时内的平均价格为3元〕，下图给出的四个图象中，其中可能正确的是 ( ) 解析：解答该题要注意平均变化率是一个累积平均效应，因此可以得到正确选项为C. 答案：C 4．函数f(x＋1)为偶函数，且x<1时，f(x)＝x2＋1，则x>1时，f(x)的解析式为( ) A．f(x)＝x2－4x＋4 B．f(x)＝x2－4x＋5 C．f(x)＝x2－4x－5 D．f(x)＝x2＋4x＋5 解析：因为f(x＋1)为偶函数， 所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，即f(x)＝f(2－x)． 当x>1时，2－x<1，此时，f(2－x)＝(2－x)2＋1，即f(x)＝x2－4x＋5. 答案：B 二、填空题 2 ??sin(πx)，－1 5．设函数f(x)＝?x－1若f(1)＋f(a)＝2，则a的所有可能的值是 ?e，x≥0? ________． 解析：由已知可得，①当a≥0时，有e0＋ea1＝1＋ea1＝2，∴ea1＝1.∴a－1＝0.∴a － － － ＝1.②当－1 1 ∴a2＝2k＋(k∈Z)． 2又－1 12 ∴当k＝0时，有a2＝，∴a＝－. 22综上可知，a＝1或－答案：1或－2 2 2. 2 4 6．已知函数f(x)＝－1的定义域是[a，b](a，b为整数)，值域是[0,1]，则满足条件 |x|＋2的整数对(a，b)共有________个． 4 解析：令y＝f(x)＝－1，y∈[0,1]， |x|＋2即0≤ 4 －1≤1， |x|＋2 解得－2≤x≤2， 故满足条件的整数对(a，b)为(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)，共5个． 答案：5 三、解答题 7．已知函数f(x)的定义域是[－1,2]，求下列函数的定义域： (1)y＝f(x)－f(－x)； (2)y＝f(x－a)·f(x＋a)(a>0)． 解：(1)函数必须满足 ?－1≤x≤2?－1≤x≤2??????－1≤x≤1. ??－1≤－x≤2－2≤x≤1?? ∴y＝f(x)－f(－x)的定义域是[－1,1]． (2)为了使y＝f(x－a)·f(x＋a)有意义， ???－1≤x－a≤2，?a－1≤x≤a＋2，需有?即? ?－1≤x＋a≤2，???－a－1≤x≤－a＋2. 3 ∵a>0，令a－1<－a＋2，即0 23 当0 2－a＋2]； 31当a＝时，故定义域为{x|x＝}； 22 3 当a>时，a－1>－a＋2，故定义域为?(舍去)． 2 8．(1)设f(x)是定义在实数集R上的函数，满足f(0)＝1，且对任意实数a、b，有f(a－b)＝f(a)－b(2a－b＋1)，求f(x)； (2)函数f(x)(x∈(－1,1))满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求f(x)． 解：(1)依题意令a＝b＝x，则 f(x－x)＝f(x)－x(2x－x＋1)， 即f(0)＝f(x)－x2－x， 而f(0)＝1，∴f(x)＝x2＋x＋1. (2)以－x代x，依题意有 2f(－x)－f(x)＝lg(1－x) 两式联立消去f(－x)得 3f(x)＝lg(1－x)＋2lg(1＋x)， 1 ∴f(x)＝lg(1＋x－x2－x3)(－1 3 [高考·模拟·预测] 2 ??x＋4x，x≥0， 1．已知函数f(x)＝?若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是 2 ?4x－x，x<0.? ① ② 又2f(x)－f(－x)＝lg(1＋x) ( ) A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2) C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 解析：通过作图可知，f(x)在R上单调递增，∴f(2－a2)>f(a)?2－a2>a，解得－2 答案：C ??log2(1－x)，x≤0， 2．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝?则f(2009)的值为} ?f(x－1)－f(x－2)，x>0，? ( ) A．－1 C．1 B．0 D．2 解析：由已知得f(－1)＝log22＝1，f(0)＝0，f(1)＝f(0)－f(－1)＝－1， f(2)＝f(1)－f(0)＝－1， f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－(－1)＝0， f(4)＝f(3)－f(2)＝0－(－1)＝1， f(5)＝f(4)－f(3)＝1，f(6)＝f(5)－f(4)＝0， 所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现，所以f(2009)＝f(5)＝1，故选C. 答案：C 3．已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)．若f(a)＝－2，则实数a＝________. 解析：当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝－x(－x＋1)． 又∵f(x)为奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)，从而f(x)＝x(1－x)． ∵当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)>0，∴a<0. ∴a(1－a)＝－2，解得a＝－1或a＝2(舍)． ∴a＝－1. 答案：－1 4．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下： 高峰时间段用电价格表 高峰月用电量 (单位：千瓦时) 50及以下的部分 超过50至200的部分 超过200的部分 低谷时间段用电价格表 低谷月用电量 (单位：千瓦时) 50及以下的部分 超过50至200的部分 超过200的部分 低谷电价 (单位：元/千瓦时) 0.288 0.318 0.388 高峰电价 (单位：元/千瓦时) 0.568 0.598 0.668 若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)． 解析：A＝50×0.568＋150×0.598＋50×0.288＋50×0.318＝148.4. 答案：148.4 5．已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且f(x)最小值是－1，函数g(x)与f(x)的图象 关于原点对称． (1)求f(x)和g(x)的解析式． (2)若h(x)＝f(x)－λg(x)在区间[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围． 解：(1)依题意，设f(x)＝ax(x＋2)＝ax2＋2ax(a>0)． f(x)图象的对称轴是x＝－1， ∴f(－1)＝－1，即a－2a＝－1，得a＝1. ∴f(x)＝x2＋2x. 由函数g(x)的图象与f(x)的图象关于原点对称， ∴g(x)＝－f(－x)＝－x2＋2x. (2)由(1)得h(x)＝x2＋2x－λ(－x2＋2x)＝(λ＋1)x2＋2(1－λ)x. ①当λ＝－1时，h(x)＝4x满足在区间[－1,1]上是增函数； λ－1 ②当λ<－1时，h(x)图象对称轴是x＝， λ＋1则 λ－1 ≥1，又λ<－1，解得λ<－1； λ＋1 λ－1 ③当λ>－1时，同理则需≤－1， λ＋1又λ>－1，解得－1<λ≤0. 综上，满足条件的实数λ的取值范围是(－∞，0]． [备选精题] 6．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)满足：对任意实数x，都有f(x)≥x，且1 当x∈(1,3)时，有f(x)≤(x＋2)2成立． 8 (1)证明：f(2)＝2； (2)若f(－2)＝0，f(x)的表达式． 解：(1)由条件知f(2)＝4a＋2b＋c≥2恒成立． 1 ∵x＝2时，f(2)＝4a＋2b＋c≤(2＋2)2＝2成立， 8∴f(2)＝2. ??4a＋2b＋c＝2(2)∵?，∴4a＋c＝2b＝1， ?4a－2b＋c＝0? 1 ∴b＝，c＝1－4a. 2又∵f(x)≥x恒成立， 即ax2＋(b－1)x＋c≥0恒成立， 1 ∴a>0，Δ＝(－1)2－4a(1－4a)≤0， 2111 解得a＝，b＝，c＝， 822111 ∴f(x)＝x2＋x＋. 822
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