数值分析
第1章
绪论
--------学习小结
一、 本章学习体会
通过本章的学习，让我初窥数学的又一个新领域。数值分析这门课，与我之前所学联系紧密，
区别却也专门大。在本章中，我学到的是对数据误差计算，对误差的分析，和关于向量和矩阵的范数的相关内容。
误差的计算方式很多，关于不同的数据需要利用不同的方式，或直接计算，或用泰勒公式。而关于二元函数的误差计算亦有其独自的方式。不管是什么方式，其目的都是为了能够通过误差的计算，发觉有效数字、计算方式等对误差的阻碍。
而对误差的分析，则是通过对大量数据进行分析，从而选择出相对适合的算法，尽可能减少误差。若是能够找到一个好的算法，不仅能够减少计算误差，同时也能够减少计算次数，提高计算效率。
关于向量和矩阵的范数，我是第一次接触，而且其概念略微抽象。因此学起来较为费力，仅仅明白它是向量与矩阵“大小”的气宇。故对这部份内容的困惑也相对较多。
本章的困惑要紧有两方面。一方面是如何能够寻觅一个靠得住而高效的算法。尽管明白算法选择的原则，但关于很多未接触的问题，真正寻觅一个好的算法仍是很困难。另一方面困惑来源于范数，不明白范数的意义和用途究竟算什么。希望通过以后的学习能够渐渐解开自己的疑惑。
二、 本章知识梳理
绪论 数值分析 的研究对象 误差知识 与算法知识 向量范数 与矩阵范数 数值分析的研究对象
方法的构造 研究对象 求解过程的理论分析 数值分析是计算数学的一个重要分支，研究各类数学问题的数值解法，包括方式的构造和求解进程的理论分析。它致力于研究如何用数值计算的方法求解各类大体数学问题和在求解进程中显现的收敛性，数值稳固性和误差估量等内容。 误差知识与算法知识
误差来源
误差按来源分为模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差与传播误差五种。其中模型误差与观测误差属于建模进程中产生的误差，而截断误差、舍入误差与传播误差属于研究数值方式进程中产生的误差。
绝对误差、相对误差与有效数字
1.（1）绝对误差e指的是精准值与近似值的差值。 绝对误差：e=??-a
绝对误差限：|e|≤ε,??=a±ε
（2）相对误差是指绝对误差在原数中所占的比例。
相对误差：er=
???a??
或er=
ε
???aa
相对误差限：|er|≤|a|=εr
结论：凡是通过四舍五入而取得的近似值，其绝对误差不超过该近似值末位的半个单位。
（3）有效数字的概念
有效数字的第一种概念:设a是x的近似值，若是a的误差绝对值不超过x的第k位小数的半个单位，即|?????|≤2×10???则称近似值a准确到小数点后第k位。从小数点后的第k位数字直到最左侧非零数字之间的所有数字都叫有效数字。
有效数字第二种概念：设数x的近似值???=±0.x1??2???n×10m其中m是整数，x1??2???n是0,1,2，?，9中的任意数，但x1≠0,若|??????|≤2×10m?k (1≤k≤n) 则???具有k位有效数字。
通过学习总结出下面几个结论：
（1）若a是通过四舍五入而取得的近似值，则从它的末位数字到第一名非零数字都是有效数字。 （2）将任何数乘以10p（p=0，±1，±2，…）等于移动该数的小数点，并非阻碍其有效数字。 （3）有效数字相同的两个近似值的绝对误差不必然相同。 （4）准确值被以为具有无穷多位有效数字。
从有效数字的概念能够明白，由准确值通过四舍五入取得的近似值，从它的末位数字到第一名非零数字都是有效数字。
2.（1）相对误差与有效数字的关系：
若近似数???=±0.x1??2???n×10m具有n位有效数字，则其相对误差|er(???)|≤2??×101?n。
1
1
1
1
若近似数???=±0.x1??2???n×10m的相对误差|er(???)|≤??位有效数字。
结论：有效数字位数越多，相对误差越小。
（2）绝对误差与有效数字的关系：
5
1
?n
×10 则该近似数至少具有n+1
若a=±a1a2a3?ak×10m 其中m是整数，a??(??=1,2,???) 是0到9中的一个数字，a1≠0.若是a作为数x的近似值，且a具有n位有效数字，则|e(a)|≤2×10m?n
若a=±a1a2a3?ak×10m 其中m是整数，a??(??=1,2,???) 是0到9中的一个数字，a1≠0.
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