表1—16 单位电力输电费（单位：元）
电站 城市 A 15 21 B 18 25 C 22 16 I II 解：设xij为“第i电站向第j城市分配的电量”（i=1,2; j=1,2,3），建立模型如下：
maxZ?15x11?18x12?22x13?21x21?25x22?16x23 ?x11?x12?x13?400?x?x?x?4502223?21?x11?x21?290?x11?x21?320?s.t. ?
x?x?2501222??x13?x23?270?x13?x23?350??xij?0,i?1,2;j?1,2,3?9．某公司在3年的计划期内，有4个建设项目可以投资：项目I从第一年到第三年年初都可以投资。预计每年年初投资，年末可收回本利120%，每年又可以重新将所获本利纳入投资计划；项目II需要在第一年初投资，经过两年可收回本利150%，又可以重新将所获本利纳入投资计划，但用于该项目的最大投资不得超过20万元；项目III需要在第二年年初投资，经过两年可收回本利160%，但用于该项目的最大投资不得超过15万元；项目IV需要在第三年年初投资，年末可收回本利140%，但用于该项目的最大投资不得超过10万元。在这个计划期内，该公司第一年可供投资的资金有30万元。问怎样的投资方案，才能使该公司在这个计划期获得最大利润？
解：设xi(1)表示第一次投资项目i，设xi(2)表示第二次投资项目i，设xi(3)表示第三次投资项目i，（i=1,2,3,4），则建立的线性规划模型为
(3)(1)(1) maxZ?1.2x1?1.6x3?1.4x4(1)?x1(1)?x2?30?(1)(1)x1(2)?x3?1.2x1(1)?30?x1(1)?x2?(1)(1)(1)(1)?x1(3)?x4?1.2x1(2)?1.5x2?1.2x1(1)?30?x1(1)?x2?x1(2)?x3?(1)s.t. ? x2?20(1)?x3?15?(1)?x4?10?(1)(2)(3)x,x,x?0,i?1,2,3,4iii?(1)(1)(1)(2)(2)通过LINGO软件计算得：x1?10,x2?20,x3?0,x1?12,x1?44．
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10．某家具制造厂生产五种不同规格的家具。每种家具都要经过机械成型、打磨、上漆几道重要工序。每种家具的每道工序所用的时间、每道工序的可用时间、每种家具的利润由表1—17给出。问工厂应如何安排生产，使总利润最大？
表1—17 家具生产工艺耗时和利润表
生产工序 成型 打磨 上漆 利润（百元） 所需时间（小时） 1 3 4 2 2.7 2 4 3 3 3 3 6 5 3 4.5 4 2 6 4 2.5 5 3 4 3 3 每道工序可用时间（小时） 3600 3950 2800 解：设xi表示第i种规格的家具的生产量（i=1,2,?,5），则
maxZ?2.7x1?3x2?4.5x3?2.5x4?3x5
?3x1?4x2?6x3?2x4?3x5?3600?4x?3x?5x?6x?4x?3950?12345s.t. ?
2x?3x?3x?4x?3x?28002345?1??xi?0,i?1,2,?,5通过LINGO软件计算得：x1?0,x2?38,x3?254,x4?0,x5?642,Z?3181．
11．某厂生产甲、乙、丙三种产品，分别经过A，B，C三种设备加工。已知生产单位产品所需的设备台时数、设备的现有加工能力及每件产品的利润如表2—10所示。
表1—18 产品生产工艺消耗系数 A（小时） B（小时） C（小时） 单位产品利润（元） 甲 1 10 2 10 乙 1 4 2 6 丙 1 5 6 4 设备能力 100 600 300 （1）建立线性规划模型，求该厂获利最大的生产计划。
（2）产品丙每件的利润增加到多大时才值得安排生产？如产品丙每件的利润增加到6，求最优生产计划。
（3）产品甲的利润在多大范围内变化时，原最优计划保持不变？
（4）设备A的能力如为100+10q，确定保持原最优基不变的q的变化范围。 （5）如合同规定该厂至少生产10件产品丙，试确定最优计划的变化。
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解：（1）设x1,x2,x3分别表示甲、乙、丙产品的生产量，建立线性规划模型
maxZ?10x1?6x2?4x3
?x1?x2?x3?100?10x?4x?5x?600?123s.t. ?
2x?2x?6x?30023?1??x1,x2,x3?0标准化得
maxZ?10x1?6x2?4x3?0x4?0x5?0x6
?x1?x2?x3?x4?100?10x?4x?5x?x?600?1235s.t. ?
2x?2x?6x?x?300236?1??x1,x2,x3,x4,x5,x6?0列出单纯形表
cj CB 0 0 0 10 b 100 600 300 6 4 0 0 0 XB x1 1 [10] 2 10 x2 1 4 2 6 [3/5] 2/5 6/5 2 1 0 0 0 x3 1 5 6 4 1/2 1/2 5 －1 5/6 1/6 4 x4 1 0 0 0 1 0 0 0 5/3 －2/3 －2 x5 0 1 0 0 －1/10 1/10 －1/5 －1 －1/6 1/6 0 －2/3 x6 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 ?i 100 60 150 200/3 150 150 x4 x5 x6 ?j 0 10 0 x4 x1 40 60 180 0 1 0 0 x6 ?j 6 10 0 x2 x1 200/3 100/3 100 0 1 0 0 x6 ?j －8/3 －10/3 故最优解为x1?100/3,x2?200/3,x3?0，又由于x1,x2,x3取整数，故四舍五入可得最优解为x1?33,x2?67,x3?0,Zmax?732．
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（2）产品丙的利润c3变化的单纯形法迭代表如下：
cj CB 6 10 0 10 b 200/3 100/3 100 6 c3 x3 5/6 1/6 4 0 0 0 XB x1 0 1 0 0 x2 1 0 0 0 x4 5/3 －2/3 －2 x5 －1/6 1/6 0 －2/3 x6 0 0 1 0 ?i x2 x1 x6 ?j c3－20/3 －10/3 要使原最优计划保持不变，只要?3?c3?202?0，即c3?6?6.67．故当产品丙每33件的利润增加到大于6.67时，才值得安排生产。
如产品丙每件的利润增加到6时，此时6<6.67，故原最优计划不变。 （3）由最末单纯形表计算出
?3??1?c1?0,?4??10?c1?0,?5?1?c1?0，
解得6?c1?15，即当产品甲的利润c1在[6,15]范围内变化时，原最优计划保持不变。
?5/3?1/60??????2/31/60?，新的最优解为 ??201????200?50q??1??100?20q??0 3???3(100?20q)?162316（4）由最末单纯形表找出最优基的逆为B?1?5/3?1/60??100?10q??????1??Bb????2/31/60??600??XB??2??01????300?解得?4?q?5，故要保持原最优基不变的q的变化范围为[?4,5]．
（5）如合同规定该厂至少生产10件产品丙，则线性规划模型变成
maxZ?10x1?6x2?4x3
?x1?x2?x3?100?10x?4x?5x?600123??s.t. ?2x1?2x2?6x3?300
?x3?10???x1,x2,x3?0通过LINGO软件计算得到：x1?32,x2?58,x3?10,Z?708．
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