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0.1算法
1、 （p.11，题1）用二分法求方程x?x?1?0在[1,2]内的近似根，要求误差不
3超过10-3.
【解】 由二分法的误差估计式|x*?xk|?2k?1?1000.两端取自然对数得k?b?a1????10?3，得到k?1k?1223ln10?1?8.96，因此取k?9，即至少需ln2 二分9次.求解过程见下表。 f(xk)符号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 1.5 + x2、（p.11，题2） 证明方程f(x)?e?10x?2在区间[0,1]内有唯一个实根；使用
1二分法求这一实根，要求误差不超过?10?2。
2x【解】 由于f(x)?e?10x?2，则f(x)在区间[0,1]上连续，且
f(0)?e0?10?0?2??1?0，f(1)?e1?10?1?2?e?8?0，即f(0)?f(1)?0，由连续函数的介值定理知，f(x)在区间[0,1]上至少有一个零点.
又f'(x)?ex?10?0，即f(x)在区间[0,1]上是单调的，故f(x)在区间[0,1]内有唯一实根.
b?a11由二分法的误差估计式|x*?xk|?k?1?k?1????10?2，得到2k?100.
2222ln10两端取自然对数得k??2?3.3219?6.6438，因此取k?7，即至少需二分
ln27次.求解过程见下表。 f(xk)符号 0 1 2 3 4 0 1 0.5 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
5 6 7 0.2误差
1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值x1?2.7，x2?2.71，x2=2.71，x3?2.718各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。
【解】有效数字：
1?10?1，所以x1?2.7有两位有效数字； 21?1因为|e?x2|?0.00828??0.05??10，所以x2?2.71亦有两位有效数字；
21?3因为|e?x3|?0.00028??0.0005??10，所以x3?2.718有四位有效数字；
2因为|e?x1|?0.01828??0.05??r1?|e?x1|0.05??1.85%； x12.7|e?x2|0.05??1.85%； x22.71|e?x3|0.0005??0.0184%。 x32.718?r2??r3?评 （1）经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字；
（2）近似数的所有数字并非都是有效数字.2．（p.12，题9）设x1?2.72，
x2?2.71828，x3?0.0718均为经过四舍五入得出的近似值，试指明它们的绝对误差(限)
与相对误差(限)。
【解】 ?1?0.005，?r1??1x1?0.005?1.84?10?3； 2.72?0.000005?1.84?10?6；
2.71828?2?0.000005，?r2??3?0.00005，?r3??2x2??3x30.00005?6.96?10?4；
0.0718评 经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位.
?43．（p.12，题10）已知x1?1.42，x2??0.0184，x3?184?10的绝对误差限均为
0.5?10?2，问它们各有几位有效数字？
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【解】 由绝对误差限均为0.5?10?2知有效数字应从小数点后两位算起，故x1?1.42，有
?4三位；x2??0.0184有一位；而x3?184?10?0.0184，也是有一位。
1.1泰勒插值和拉格朗日插值
1、（p.54，习题1）求作f(x)?sinx在节点x0?0的5次泰勒插值多项式p5(x)，并计算
p5(0.3367)和估计插值误差，最后将p5(0.5)有效数值与精确解进行比较。
【解】由f(x)?sinx，求得f(1)(x)?cosx；f(2)(x)??sinx；f(3)(x)??cosx；
f(4)(x)?sinx；f(5)(x)?cosx；f(6)(x)??sinx，所以
|f(6)(?)||sin(?)|1(x?x0)6?(x?x0)6?x6，若x?0.5，则 插值误差：R5(x)?6!6!6!0.336730.33675p5(0.3367)?0.3367???0.3303742887，而
3!5!0.33676R5(0.3367)??2.02?10?6?0.5?10?5，精度到小数点后5位，
6!故取p5(0.3367)?0.33037，与精确值f(0.3367)?sin(0.3367)?0.330374191?相比
较，在插值误差的精度内完全吻合！
2、（p.55，题12）给定节点x0??1,x1?1,x2?3,x3?4，试分别对下列函数导出拉格朗日余项：
（1）f(x)?4x?3x?2； （2）f(x)?x?2x
【解】依题意，n?3，拉格朗日余项公式为 R3(x)?（1）f(4)433f(4)(?)3(x?xi) ?4!i?0(x)?0 → R3(x)?0；
(4)（2）因为f(x)?4!，所以
3、（p.55，题13）依据下列数据表，试用线性插值和抛物线插值分别计算sin(0.3367)的近似值并估计误差。 0 0.32 0.314567 1 0.34 0.333487 2 0.36 0.352274 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
【解】依题意，n?3，拉格朗日余项公式为 R3(x)?（1） 线性插值
因为x?0.3367在节点x0和x1之间，先估计误差
f(4)(?)3?(x?xi) 4!i?00.0121???104；须保留到小数点后4为，计算过程多余两位。
22（2） 抛物线插值
插值误差：
抛物线插值公式为：
经四舍五入后得：P2(0.3367)?0.330374，与sin(0.3367)?0.330374191?精确值相比较，在插值误差范围内完全吻合！
1.3分段插值与样条函数
?x3?x21、（p.56，习题33）设分段多项式 S(x)??32?2x?bx?cx?1是以0,1,2为节点的三次样条函数，试确定系数b，c的值. 【解】依题意，要求S(x)在x=1节点
函数值连续：
0?x?1
1?x?2S?(1)?13?12?2?13?b?12?c?1?1?S?(1)，
(1) 即：b?c?1'22'
一阶导数连续： S?(1)?3?1?2?1?6?1?2?b?1?c?S?(1)，
导数亦连续。
(2)
c?3，即 解方程组（1）和（2），得b??2,''''由于S?(1)?3?2?1?2?6?2?1?2?2?S?(1)，所以S(x) 在x=1节点的二阶
即：2b?c??12、 已知函数y?1 的一组数据，x0?0,x1?1,x2?2和y0?1,y1?0.5,y2?0.2，21?x（1）求其分段线性插值函数；
（2）计算f(1.5)的近似值，并根据余项表达式估计误差。
【解】（1）依题意，将x分为[0,1]和[1,2]两段，对应的插值函数为S1(x)和S2(x)，利用拉格朗日线性插值公式，求得
S1(x)?x?x0x?x1x?1x?0y0?y1??1??0.5??0.5x?1；
x0?x1x1?x00?11?0（2）f(1.5)?1S2(1.5)??0.3?1.5?0.8?0.35，?0.30769230769?，而 21?1.5实际误差为：|f(1.5)?S2(1.5)|?0.0423??0.05。
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由f(1)?2x(x)?,22(1?x)f(2)?2(1?3x2)(x)?,23(1?x)f(3)24x(1?x2),可(x)?24(1?x)知M2?f(2)(1)?0.5，则余项表达式
1.4 曲线拟合
1、（p.57，习题35）用最小二乘法解下列超定方程组： 【解】 构造残差平方和函数如下：
Q(x,y)?(2x?4y?11)2?(3x?5y?3)2?(x?2y?6)2?(2x?y?7)2，
分别就Q对x和y求偏导数，并令其为零：
?Q(x,y)?0： 6x?y?17?x?Q(x,y)?0： ?3x?46y?48?y解方程组（1）和（2），得
(1)， (2)，
2、（p.57，习题37）用最小二乘法求形如y?a?bx 的多项式，使之与下列数据相拟合。 【解】令X?x，则y?a?bX为线性拟合，根据公式(p.39,公式43)，取m=2，a1=0，N=5，求得
555?25a?b?Xi?5a?b?xi??yi(1)??i?1i?1i?1?555555224?a?Xi?b?Xi?a?xi?b?xi??Xiyi??xi2yi?i?1i?1i?1i?1i?1?i?122 ；
(2) 依据上式中的求和项，列出下表 xi 19 25 31 38 44 yi 19 32.3 49 73.3 97.8 Xi (=xi2) 361 625 961 1444 1936 Xi2(=xi4) 130321 390625 923521 2085136 3748096 ∑
157 271.4 5327 7277699 Xi yi (=xi2yi) 6859 20187.5 47089 105845.2 189340.8 369321.5 将所求得的系数代入方程组（1）和（2），得 271.4?7277699?369321.5?53277791878.1??0.97258；
5?7277699?5327?532780115665?369321.5?5327?271.4400859.7b???0.05004；
5?7277699?5327?53278011566a?即：y?0.97258?0.05004x。
22.1 机械求积和插值求积
1、（p.94，习题3）确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明求积公
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