综上:S∈[8,10].
2.(2019山东烟台一模)已知F为抛物线C:y=2px(p>0)的焦点,过F的动直线交抛物线C于A,B两点.当直线与x轴垂直时,|AB|=4. (1)求抛物线C的方程;
(2)设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线l相交于点M,抛物线C上存在点P使得直线PA,PM,PB的斜率成等差数列,求点P的坐标.
2
解(1)因为F??2
,0,在抛物线方程y=2px中,令x=,可得y=±p.
2
2
??于是当直线与x轴垂直时,|AB|=2p=4,解得p=2. 所以抛物线的方程为y=4x.
(2)因为抛物线y=4x的准线方程为x=-1,所以M(-1,-2). 设直线AB的方程为y=x-1,
22
联立{??=4??,消去x,得y-4y-4=0.
??=??-1
2
2
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4,y1y2=-4. 若点P(x0,y0)满足条件,则2kPM=kPA+kPB,
??0+2??0+1
??0-??1??0-??1
??0-??2
, ??0-??2
即2·=+
因为点P,A,B均在抛物线上,所以x0=??204
,x1=??214
,x2=??224
.
代入化简可得
2(??0+2)
??20+4
=??2+(??0
2??0+??1+??2
1+??2)??0+??1??2
, 将y1+y2=4,y1y2=-4代入,解得y0=±2.
53
将y0=±2代入抛物线方程,可得x0=1. 于是点P(1,±2)为满足题意的点.
3.已知椭圆
??2C:2??21
+2=1(a>b>0)的离心率为,左、右焦点分别为F1、F2,A为椭圆C上一点,AF1与y????3
轴相交于B,|AB|=|F42B|,|OB|=3
(O为坐标原点).
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1,A2,过A1,A2分别作x轴的垂线l1,l2,椭圆C的一条切线
l:y=kx+m(k≠0)分别与l1,l2交于点M,N,求证:∠MF1N=∠MF2N.
解(1)如图,连接AF2,由题意得|AB|=|F2B|=|F1B|,
所以BO为△F1AF2的中位线,
又BO⊥F8
1F2,所以
AFF??2
2⊥F12,且|AF2|=2|BO|=??=3,
又e=??1
222??=3,a=b+c,所以a2=9,b2
=8,
故所求椭圆C的方程为??29
+
??28
=1.
(2)由(1)可得,F1(-1,0),F2(1,0),l1的方程为x=-3,l2的方程为x=3.
由{
??=-3,??=????+??,得{??=-3,
??=-3??+??,
由{
??=3,
??=3,??=????+??得{??=3??+??,所以M(-3,-3k+m),N(3,3k+m),
54
所以??????????? ??1??=(-2,-3k+m),??????????? ??1??=(4,3k+m), 所以??????????? ??1??·??????????? ??1??=-8+m-9k.
??2
2
2
联立得{
+=1,得(9k2+8)x2+18kmx+9m2-72=0.
8
??=????+??,
9
??2
因为直线l与椭圆C相切,
所以Δ=(18km)-4(9k+8)(9m-72)=0, 化简得m=9k+8.
所以??????????? ??1??·??????????? ??1??=-8+m-9k=0, 所以??????????? ??1??⊥??????????? ??1??,故∠MF1N=2. 同理可得??????????? ??2??⊥??????????? ??2??,∠MF2N=2. 故∠MF1N=∠MF2N.
4.(2019四川棠湖中学高三适应性考试)已知抛物线C=x=4y,M为直线l:y=-1上任意一点,过点M作抛物线C的两条切线MA,MB,切点分别为A,B. (1)当M的坐标为(0,-1)时,求过M,A,B三点的圆的方程; (2)证明:以AB为直径的圆恒过点M.
(1)解当M的坐标为(0,-1)时,设过M点的切线方程为y=kx-1,
22
由{??=4??,消y得x-4kx+4=0.* ??=????-1,
2
2
2
2
2
2
2
2
π
π
令Δ=(4k)-4×4=0,解得k=±1. 代入方程*,解得A(2,1),B(-2,1).
设圆心P的坐标为(0,a),由|PM|=|PB|,得a+1=2,解得a=1.
55
2
故过M,A,B三点的圆的方程为x+(y-1)=4.
22
(2)证明设M(x0,-1),由已知得y=??24
,y'=x,设切点分别为Ax1,
2
1
??214
,Bx2,
??224
,所以kMA=??12
,kMB=??22
,
切线MA的方程为y-??214
=
??12
(x-x1),
即y=1x1
2
1x-4
??21,
切线MB的方程为y-??22??24
=
2
(x-x2),
即y=1x1
2x-??22
4
2.
又因为切线MA过点M(x0,-1),
所以得-1=11
2x0x1-4??21.
又因为切线MB也过点M(x0,-1),
所以得-1=12x1
0x2-4??22.
所以x11
2
1,x2是方程-1=2x0x-4x的两实根, 由韦达定理得x1+x2=2x0,x1x2=-4.
因为????????????? =x??21-x0,
14
+1,
????????????? =x??22-x0,2
4+1,
所以????????????? ·????????????? =(x??21-x0)(x2-x0)+14
+1
??224
+1
=x1x2-x0(x1+x2)+??2??21??2
12
0+
2
16
+4[(??1+??2)-2x1x2]+1.
①
②
56
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