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PF2＝PH2+HF2＝m2+10m+50 NF2＝52+32＝34
①当∠PNF＝90o时，PN2+ NF2＝PF2，解得m＝
4419
，∴Q点坐标为（，0） 33102
②当∠PFN＝90o时，PF2+ NF2＝PN2，解得m＝，∴Q点坐标为（，0）
33
③∵PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90o
192
综上所得，当Q点坐标为（，0）或（，0）时，以点P、N、F为顶点
33
的三角形是直角三角形．
25．(2009年河北)图10是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，
弦CD是水位线，CD∥AB，且CD ＝ 24 m，
12OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE ＝ ．
13（1）求半径OD； （2）根据需要，水面要以每小时0．5 m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？
E C A D B O 图10
【关键词】解直角三角形,勾股定理, 解：（1）∵OE⊥CD于点E，CD＝24，
1∴ED ＝CD＝12．
2 在Rt△DOE中，
∵sin∠DOE ＝ED12 ＝， OD13∴OD ＝13（m）．
（2）OE＝OD2?ED2 ＝132?122=5．
∴将水排干需：
5÷0．5＝10（小时）．
26．(2009年潍坊)在四边形ABCD中，
AB⊥BC，DC⊥BC，AB?a，DC?b，BC?a?b，且a≤b．取AD的中点
P，连结PB、PC．
（1）试判断三角形PBC的形状；
（2）在线段BC上，是否存在点M，使AM⊥MD．若存在，请求出BM的长；若
不存在，请说明理由．
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P A
D
C B
?AB∥DC， 解：（1）在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，． ?四边形ABCD为直角梯形（或矩形）
过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，?PQ∥AB， 又点P是AD的中点，?点Q是BC的中点，
111(AB?CD)?(a?b)?BC， 222?PQ?BQ?QC，
?△PQB与△PQC是全等的等腰直角三角形， ??BPC??BPQ??QPC?90°，PB?PC， ?△PBC是等腰直角三角形． （2）存在点M使AM⊥MD． 以AD为直径，P为圆心作圆P．
当a?b时，四边形ABCD为矩形，PA?PD?PQ，
圆P与BC相切于点Q，此时，M点与Q点重合，存在点M，使得AM⊥MD，
1此时BM?(a?b)．
2当a?b时，四边形ABCD为直角梯形，
AD?BC，PA?PD?PQ，圆心P到BC的距离PQ小于圆P的半径，圆P与BC相交，BC上存在两点M1，M2，使AM⊥MD，
过点A作AE⊥DC，在Rt△AED中，AE?a?b，DE?b?a，
又PQ?AD2?AE2?DE2，AD2?2a2?2b2，AD?2a2?2b2 2a2?2b2连结PM1，PM2，则PM1?PM2?，
22a2?2b2(a?b)2b?a22在直角三角形PQM1中，QM1?PM1?PQ?， ??442?BM1?BQ?M1Q?a．
同理可得：BM2?BQ?M2Q?b．
综上所述，在线段BC上存在点M，使AM⊥MD．
a?b当a?b时，有一点M，BM?；当a?b时，有两点M1，M2，
2BM1?a，BM2?b．
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P
A B
D E C
27．（09湖北宜昌）已知：如图， AF平分∠BAC，BC⊥AF， 垂足为E，点D与点A关于
点E对称，PB分别与线段CF， AF相交于P，M． (1)求证：AB＝CD； (2)若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD 的数量关系，并说明理由．
CPM1 Q M2 AEDMFB【关键词】全等三角形的性质与判定、等腰三角性的性质 【答案】解：(1)证明：∵AF平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠DAB＝
12
∠BAC．
∵D与A关于E对称，∴E为AD中点． ∵BC⊥AD，∴BC为AD的中垂线，∴AC＝CD．
在Rt△ACE和Rt△ABE中，注：证全等也可得到AC＝CD ∠CAD+∠ACE＝∠DAB+∠ABE＝90°， ∠CAD＝∠DAB． ∴∠ACE＝∠ABE，∴AC＝AB． 注：证全等也可得到AC＝AB ∴AB＝CD． (2)∵∠BAC＝2∠MPC， 又∵∠BAC＝2∠CAD，∴∠MPC＝∠CAD． ∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠CDA， ∴∠MPC＝∠CDA． ∴∠MPF＝∠CDM． ∵AC＝AB，AE⊥BC，∴CE＝BE． 注：证全等也可得到CE＝BE ∴AM为BC的中垂线，∴CM＝BM． 注：证全等也可得到CM＝BM ∵EM⊥BC，∴EM平分∠CMB，(等腰三角形三线合一) ∴∠CME＝∠BME． 注：证全等也可得到∠CME＝∠BME ∵∠BME＝∠PMF， ∴∠PMF＝∠CME， ∴∠MCD＝∠F(三角形内角和)． 注：证三角形相似也可得到∠MCD＝∠F
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28．（09湖南怀化）如图12，在直角梯形OABC中， OA∥CB，A、B两点的坐标分别为A
（15，0），B（10，12），动点P、Q分别从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC向C运动，当点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段OB、PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P、Q运动时间为t（单位：秒）． （1）当t为何值时，四边形PABQ是等腰梯形，请写出推理过程； （2）当t＝2秒时，求梯形OFBC的面积；
（3）当t为何值时，△PQF是等腰三角形？请写出推理过程．
【关键词】一元二次方程解法及应用、勾股定理及逆定理、等腰三角形、等腰梯形的判定 【答案】
解：（1）如图4，过B作BG?OA于G， 则AB?
2BG2?GA2?122?（15?10）?169?13
过Q作QH?OA于H，
222（10?t?2t)2?144?(10?3t)2 则QP?QH?PH?12?要使四边形PABQ是等腰梯形，则AB?QP，
2即144?(10?3t)?13,?t?或t?5（此时PABQ是平行四边形，不合题意，舍去）
（2）当t?2时，OP?4，CQ?10?2?8，QB?2。
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?CB∥DE∥OF，?QBQEQDQB1????. AFEFDPOP2?AF?2QB?2?2?4，?OF?15?4?19.
1?S梯形OFBC?（10?19）?12?174.
222（3）①当QP?PF时，则12?(10?t?2t)?15?2t?2t，
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