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∴ AD?AE?DE． 由（1）知AE＝DB， ∴ AD+DB=DE．
18．（2009年莆田）已知：等边△ABC的边长为a． 探究（1）：如图１，过等边△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线围成
222222△MNG，求证：△MNG是等边三角形且．MN?3a；
探究（2）：在等边△ABC内取一点O，过点O分别作OD?AB、OE?BC、OF?CA，垂足分别为点D、E、F． ① 如图2，若点O是△ABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得
到两个正确结论（不必证明）：
33a；结论2．AD?BE?CF?a；
222是否仍然成立？如果成立，②如图3，若点O是等边△ABC内任意一点，则上述结论1、结论1．OD?OE?OF?请给予证明；如果不成立，请说明理由．
M
A A D G
B
C （图1）
B O E （图2）
F C B D A F O E （图3）
C B D A F O E （图4）
C N
【关键词】等边三角形
证明：如图1，?△ABC为等边三角形 ??ABC?60°
?BC?MN，BA?MG ∴?CBM??BAM?90°
??ABM?90°-?ABC?30?
M A
G
B
C （图1）
??M?90?-?ABM?60?N 同理：?N??G?60?
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?△MNG为等边三角形．
ABa23??a
sinMsin60?3BCa3在Rt△BCN中，BN???a
tanNtan60?3?MN?BM?BN?3a （2）②：结论1成立．
在Rt△ABM中，BM?A D
O F
C
B
E H （图2）
证明；方法一：如图2，连接AO、BO、CO 由S△ABC?S△AOB?S△BOC?S△AOC＝作AH?BC，垂足为H，
则AH?ACsin?ACB?a?sin60??1a?OD?OE?OF? 23a 2113BC·AH?a·a 222113?a?OD?OE?OF??a·a 2223?OD?OE?OF?a
2方法二：如图3，过点O作GH∥BC，分别交AB、AC于点G、H，过点 H作HM⊥BC于点M， ??DGO??B?60°，?OHF??C?60° ?△AGH是等边三角形 ?GH?AH ?OE⊥BC ?OE∥HM
?四边形OEMH是矩形 ?HM?OE
3·sin?DGO?OG·sin60??OG 在Rt△ODG中，OD?OG2?S△ABC? - 30 -
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A D G B
F H M C
O E 在Rt△OFH中，OF?OH·sin?OHF?OH·sin60??在Rt△HMC中，HM?HC·sinC?HC·sin60??3OH 23HC 2333?OD?OE?OF?OD?HM?OF?OG?HC?OH
222333 ??GH?HC??AC?a
222M A D F?
F O E E?
D? B
G
C N
（2）②:结论2成立．
、BC、CA证明：方法一：如图４，过顶点A、B、C依次作边AB的垂线围成
△MNG，由（1）得△MNG为等边三角形且MN?3a
过点O分别作OD??MN于D?,OE??NG于NG于点E?，OF??MG于点F?
由结论1得：
?33MN??3a?a ?22又?OD?AB，AB?MG，OF??MG ??ADO??DAF???OF?A?90? ?四边形ADOF?为矩形 ?OF??AD
同理：OD??BE，OE??CF
3?AD?BE?CF?OD??OE??OF??a
2OD??OE??OF??方法二：（同结论1方法二的辅助线）
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A D G B
F H
O E M C （图3）
在Rt△OFH中，FH?OF3?OF
tan?OHF3HM23?OE sinC3233?CF?HC?FH?OE?OF
33233233同理：AD?OF?OD，BE?OD?OE
3333?AD?BE?CF 233233233＝OF?OD?OD?OE?OE?OF
333333＝3?OD?OE?OF?
在Rt△HMC中，HC?由结论1得：OD?OE?OF?3a 2A D
O B E （图5）
C F
33a?a 22方法三：如图5，连接OA、OB、OC，根据勾股定理得： BE2?OE2?OB2?BD2?OD2① CF2?OF2?OC2?CE2?OE2② AD2?OD2?AO2?AF2?OF2③ ①+②+③得：
BE2?CF2?AD2?BD2?CE2?AF2
222?BE2?CF2?AD2??a?AD???a?BE???a?CF? ?AD?BE?CF?3??a2?2AD?a?AD2?a2?2BE?a?BE2?a2?2CF?a?CF2
2整理得：2a?AD?BE?CF??3a
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