abba例3、已知a,b?R,求证ab?ab.
?本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于a,b对称，不妨设a?b?0.
?a?b?0?ab?ab?ab(aabbabba?b?ba?b)?0，从而原不等式得证。
2）商值比较法：设a?b?0,
aabbaa??1,a?b?0, ?ba?()a?b?1.故原不等式得证。
babb例4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果m?n，问甲、乙两人谁先到达指定地点。
分析：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为
t1,t2。要回答题目中的问题，只要比较t1,t2的大小就可以了。
解：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为
t1,t2，根据题意有
t1tSS2SS(m?n)m?1n?S，，t2?， ??t2，可得t1?222m2nm?n2mnS(m?n)22SS(m?n)S[4mn?(m?n)2]???从而t1?t2?， ?2(m?n)mn2(m?n)mnm?n2mn其中S,m,n都是正数，且m?n。于是t1?t2?0，即t1?t2。 从而知甲比乙首先到达指定地点。
讨论：如果m?n，甲、乙两人谁先到达指定地点？ 三、课堂练习：
1．比较下面各题中两个代数式值的大小：
（1）x与x?x?1；（2）x?x?1与(x?1).
2222 21
2．已知a?1. 求证：（1）a?2a?1; （2）
a?b?c322a?1.
1?a23．若a?b?c?0，求证abc?(abc)四、课时小结：
abc.
比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。五、课后作业：
课本23页第1、2、3、4题。 六、教学后记：
22
课 题：第02课时 不等式的证明方法之二：综合法与分析法 教学目标：
1、 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法。 2、 了解分析法和综合法的思考过程。
教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程。
教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法。 教学过程： 一、引入：
综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。由 于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点。
所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证 的不等式。而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中。前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因”。打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”。 二、典型例题：
例1、已知a,b,c?0，且不全相等。求证：
a(b?c)?b(c?a)?c(a?b)?6abc 分析：用综合法。
例2、设a?0,b?0，求证a?b?ab?ab. 证法一 分析法
要证a?b?ab?ab成立.
只需证(a?b)(a?ab?b)?ab(a?b)成立，又因a?b?0， 只需证a?ab?b?ab成立，又需证a?2ab?b?0成立， 即需证(a?b)?0成立.而(a?b)?0显然成立. 由此命题得证。
证法二 综合法
2222222222332233222222 23
(a?b)?0?a?2ab?b?0?a?ab?b?ab
22222 注意到a?0,b?0，即a?b?0，
3322由上式即得(a?b)(a?ab?b)?ab(a?b)，从而a?b?ab?ab成立。
22议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？ 例3、已知a，b，m都是正数，并且a?b.求证：
a?ma?. （1） b?mb证法一 要证（1），只需证b(a?m)?a(b?m) （2）
要证（2），只需证bm?am （3） 要证（3），只需证b?a （4） 已知（4）成立，所以（1）成立。
上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。 证法二 因为 b?a,m是正数，所以bm?am
两边同时加上ab得b(a?m)?a(b?m)两边同时除以正数b(b?m)得（1）。
例4、证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。
分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长
LL?L?为L，则周长为L的圆的半径为，截面积为??；周长为的正方形为，截面L?2?4?2??2?L??L??L?积为??。所以本题只需证明??????。
?4??2???4??L?证明：设截面的周长为L，则截面是圆的水管的截面面积为???，截面是正方形
?2???L??L??L?的水管的截面面积为??。只需证明：??????。
?4??2???4?2222222?L2L2?为了证明上式成立，只需证明。 2164?两边同乘以正数
411?。因此，只需证明4??。 ，得：
?4L2 24
?L??L?上式显然成立，所以?????? 。
?2???4?这就证明了：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。
例5、证明：a?b?c?ab?bc?ca。
证法一： 因为 a?b?2ab （2） b?c?2bc （3） c?a?2ca （4）
所以三式相加得2(a?b?c)?2(ab?bc?ca) （5） 两边同时除以2即得（1）。
证法二：
22222222222222a2?b2?c2?(ab?bc?ca)?所以（1）成立。
111(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?0, 222例6、证明：(a?b)(c?d)?(ac?bd). （1） 证明 （1）?(a?b)(c?d)?(ac?bd)?0 （2）
2222222222?a2c2?b2c2?a2d2?b2d2?(a2c2?2abcd?b2d2)?0 （3） ? b2c2?a2d2?2abcd?0 （4） ? (bc?ad)2?0 （5）
（5）显然成立。因此（1）成立。
例7、已知a,b,c都是正数，求证a?b?c?3abc.并指出等号在什么时候成立？ 分析：本题可以考虑利用因式分解公式
a?b?c?3abc?(a?b?c)(a?b?c?ab?bc?ca)着手。 证明： a?b?c?3abc
=(a?b?c)(a?b?c?ab?bc?ca)
222333222333333 25
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