(完整word版)北师大版七年级数学下册三角形难题全解

来源：2011-2012学年广东省汕头市潮南区中考模拟考试数学卷（解析版） 考点：三角形 如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90o，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90o，连结AE、BF． 求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF． 【答案】 见解析 【解析】解：（1）证明：在△AEO与△BFO中， ∵Rt△OAB与Rt△EOF等腰直角三角形， ∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90ｏ-∠BOE=∠BOF， ∴△AEO≌△BFO， ∴AE=BF； （ 2）延长AE交BF于D，交OB于C，则∠BCD=∠ACO， 由（1）知：∠OAC=∠OBF， ∴∠BDA=∠AOB=90ｏ， ∴AE⊥BF． （1）可以把要证明相等的线段AE，CF放到△AEO，△BFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO=BO，OE=OF，再找夹角相等，这两个夹角都是直角 减去∠BOE的结果，所以相等，由此可以证明△AEO≌△BFO； （2）由（1）知：∠OAC=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90°，由此可以证明AE⊥BF 来源：2012-2013学年吉林省八年级上期中考试数学试卷（解析版） 考点：四边形 如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，AF=已知△ABE≌△ADF. AB, （1）在图中，可以通过平移、翻折、旋转中哪一种方法，使△ABE变到△ADF的位置； （2）线段BE与DF有什么关系？证明你的结论. 【答案】 （1）绕点A旋转90°；（2）BE=DF，BE⊥DF． 【解析】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的判断和性质 （1）根据旋转的概念得出； （2）根据旋转的性质得出△ABE≌△ADF，从而得出BE=DF，再根据正方形的性质得出BE⊥DF． （1）图中是通过绕点A旋转90°，使△ABE变到△ADF的位置． （2）BE=DF，BE⊥DF； 延长BE交DF于G； 由△ABE≌△ADF，得BE=DF，∠ABE=∠ADF； 又∠AEB=∠DEG； ∴∠DGB=∠DAB=90°； ∴BE⊥DF． 来源：2012年江苏省东台市七年级下学期期中考试数学试卷（解析版） 如图，在△abc中，已知∠abc=30°，点d在bc上，点e在ac上，∠bad=∠ebc，ad交be于f. 1.求

的度数；

2.若eg∥ad交bc于g，eh⊥be交bc于h，求∠heg的度数.

【答案】

1.∠BFD=∠ABF+∠BAD （三角形外角等于两内角之和） ∵∠BAD=∠EBC， ∴∠BFD=∠ABF+∠EBC， ∴∠BFD=∠ABC=30°；

2.∵EG∥AD，∴∠BFD=∠BEG=30°（同位角相等） ∵EH⊥BE，

∴∠HEB=90°， ∴∠HEG=∠HEB-∠BEG=90°-30°=60°． 【解析】 1.∠BFD的度数可以利用角的等效替换转化为∠ABC的大小， 2.在直角三角形中，有平行线，利用同位角即可求解． 三角形强化训练和深化 ?

1、如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是_________°．

解析：

由题意可知折叠前，由BC//AD得：

∠BFE=∠DEF=25°将纸带沿EF折叠成图b后， ∠GEF=∠DEF=25°

所以图b中，∠DGF=∠GEF+∠BFE=25°+25°=50° 又在四边形CDGF中，∠C=∠D=90° 则由：∠DGF+∠GFC=180°

所以：∠GFC=180°－50°＝130° 将纸带再沿BF第二次折叠成图C后 ∠GFC角度值保持不变

且此时：∠GFC＝∠EFG+∠CFE

所以：∠CFE=∠GFC-∠EFG=130°-25°=105

2、在Rt△ABC中，∠A＝90°，CE是角平分线，和高AD相交于F，作FG∥BC交AB于G，求证：AE＝BG．

解法1：

【解析】证明：∵∠BAC=900 AD⊥BC ∴∠1=∠B

∵CE是角平分线 ∴∠2＝∠3 ∵∠5＝∠1+∠2 ∠4＝∠3+∠B ∴∠4＝∠5 ∴AE＝AF

过F作FM⊥AC并延长MF交BC于N ∴MN//AB ∵FG//BD

∴四边形GBDF为平行四边形 ∴GB=FN

∵AD⊥BC,CE为角平分线 ∴FD=FM

在Rt△AMF和RtNDF中

∴△AMF≌△NDF ∴AF＝FN ∴AE＝BG

解法2：

解：作EH⊥BC于H，如图，

∵E是角平分线上的点，EH⊥BC，EA⊥CA， ∴EA=EH，

∵AD为△ABC的高，EC平分∠ACD， ∴∠ADC=90°，∠ACE=∠ECB， ∴∠B=∠DAC，

∵∠AEC=∠B+∠ECB，

∴∠AEC=∠DAC+∠ECA=∠AFE， ∴AE=AF， ∴EG=AF， ∵FG∥BC， ∴∠AGF=∠B，

∵在△AFG和△EHB中， ∠GAF=∠BEH ∠AGF=∠B

AF=EH

，∴△AFG≌△EHB（AAS） ∴AG=EB，

即AE+EG=BG+GE， ∴AE=BG．