3、如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AD为腰CB上的中线，CE⊥AD交AB于E．求证∠CDA＝∠EDB．
解：作CF⊥AB于F，交AD于G，
如图，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACF=∠BCF=45°，即∠ACG=45°，∠B=45°， ∵CE⊥AD，
∴∠1+∠ACE=∠2+∠ACE=90°， ∴∠1=∠2，
在△AGC和△CEB中 ∠1=∠2
AC=CB ∠ACG=∠C BE
，∴△AGC≌△CEB（ASA）， ∴CG=BE，
∵AD为腰CB上的中线， ∴CD=BD，
在△CGD和△BED中 CG=BE
∠GCD=
∠B CD=BD
，∴△CGD≌△BED（SAS）， ∴∠CDA=∠EDB．
4、如图，已知AD和BC相交于点O，且均为等边三角形，以
平行四边形ODEB，连结AC，AE和CE。
求证：也是等边三角形
证明：∵△OAB和△OCD为等边三角形， ∴CD=OD，OB=AB，∠ADC=∠ABO=60°． ∵四边形ODEB是平行四边形， ∴OD=BE，OB=DE，∠CBE=∠EDO． ∴CD=BE，AB=DE，∠ABE=∠CDE． ∴△ABE≌△EDC． ∴AE=CE，∠AEB=∠ECD． ∵BE∥AD，
∴∠AEB=∠EAD． ∴∠EAD=∠ECD． 在△AFE和△CFD中 又∵∠AFE=∠CFD， ∴∠AEC=∠ADC=60°． ∴△ACE为等边三角形．
5.如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=16，对角线AC与BD交于点E，过
E作EF⊥AB于点F，O为边AB的中点，且FE+BO=8. 求AD+BC的值.
DCEAOFB
6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC, D是△ABC内一点， 且
求证：BD=BA。
解：如图：以AD为边，在△ADB中作等边三角形ADE，连接BE．
∵∠BAE=90°-60°-15°=15°，即∠BAE=∠CAD，且AB=AC，AE=AD， ∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴∠BEA=∠CDA=180°-15°-15°=150°，
∴∠BED=360°-∠BEA-60°=150°，即∠BEA=∠BED； 又∵AE=ED，BE=BE， ∴△BEA≌△BED（SAS）， ∴BA=BD．
7.已知，如图D是的边BA延长线上一点，有AD=BA，E是边AC上一点，且DE=BC
求证：
延长CA至F，使得AF=CA 则三角形DAF与三角形BAC全等， DF=BC,且 又DE=BC=DF，所以三角形DFE为等腰三角形，所以 8.如图，已知点D是边长为1的等边三角形ABC的内心，点E，F分别在边AB，AC上，且满足 。求 的周长。 过D做AC和AB的垂线交与H G 找到一个 I 点，使∠EDI = 60度 可以证明。 过D做AC和AB的垂线交与H G 找到一个 I 点，使∠EDI = 60度 那么 三角形HDF和GDI全等。 证明： ∠HDG=120 ∠FDI=120 （2个60度相加） ∠HDG-∠FDG = ∠FDI-∠FDG ∠HDF = ∠GDI DH=GD ∠DHF = ∠DGI = 90度 由此可知FD=ID 那么 三角形FDE和IDE全等。 证明： 因为 FD=ID ED=ED ∠FDE = ∠IDE = 60° 由此可知 FE=IE （蓝色线） 那么 三角形AFD和BID全等。 证明： ∠ADB=120 ∠FDI=120 （2个60度相加） ∠ADB-∠ADI = ∠FDI-∠ADI 所以 ∠BDI = ∠FDA 因为FD=ID，AD=BD 那么，AE = BI (红色线) 最后，AE+EF+FA = AE+EI+IB = 单边长。 为固定值。 初一下册数学难题（全内容） 1、解方程：180???290???????1?180?，则?= 60° 32、用10%和5%的盐水合成8%的盐水10kg，问10%和5%的盐水各需多少kg？ 设需10%的盐水X千克，则需要5%的盐水（10-X）千克 X*10%+（10-X）*5%=10*8% 5%X=0.3 X=6 10-6=4（千克） 所以需10%的盐水6千克，则需要5%的盐水4千克 3、已知5x?2k?3的解为正数，则k的取值范围是 ?x?2a?14、（2）若?的解为x＞3，则a的取值范围 2(x?1)?11?x? （3）若??2x?a?1的解是-1＜x＜1，则（a+1）（b-2）= ?x?2b?3（4）若2x＜a的解集为x＜2，则a= （5）若??2x?m?0有解，则m的取值范围 ?4x?16?05、已知??3x?2y?m?1，x＞y，则m的取值范围 ； ?2x?y?m?16、已知上山的速度为600m/h，下上的速度为400m/h，则上下山的平均速度为？ 7、已知4(x?y?3)?x?y?0，则x= ，y= ； 28、已知??3x?5y?3z?0（z?0），则x:z? ，y:z? ； ?3x?5y?8z?0?x?2y?6中x、y的值相等，此时x、y的值 ?2x?y?3m?109、当m= 时，方程?= 。 10、已知点P(5a-7,-6a-2)在二、四象限的角平分线上，则a= 。 11、??x?2y?3m12的解是3x?2y?34的解，求m?。 m?x?y?9m12、若方程3m(x?1)?1?m(3?x)?5x的解是负数，则m的取值范围是 。 13、船从A点出发，向北偏西60°行进了200km到B点，再从B点向南偏东20°方向走500km到C点，则∠ABC= 。 14、??3x?5y?a?2的解x和y的和为0，则a= 。 2x?3y?a?b2?cd? 。 a315、a、b互为相反数且均不为0，c、d互为倒数，则(a?b)?5?a、b互为相反数且均不为0，则(a?b?1)?(a?1)? 。 ba、b互为相反数，c、d互为倒数，x?2，则10a?10b?cdx? 。 16、若 mm ?1，则m 0。（填“＞” 、“＜”或“=” ） ?17、计算： 27?74? ； 0.2576?477? 。 1?2418、若m?5与?n?2?互为相反数，则m? 。 n19、倒数等于它本身的数是： ；相反数等于它本身的数是： 。 20、有23人在甲处劳动，17人在乙处劳动，现调20人去支援，使在甲处劳动的人数是在 乙处劳动的人数的2倍，应调往甲乙两处各多少人？ 21、如图(1), 已知△ABC中, ∠BAC=90, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且B、C在A、E的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E. 0
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