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第二节 排列与组合
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1．理解排列组合的概念．
2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式． 3．能利用排列组合知识解决简单的实际问题．
1．排列与组合的概念
名称 排列 组合
2．排列数与组合数的概念
名称 排列数 组合数 3.排列数与组合数公式 (1)排列数公式
n！
①Am； n＝n(n－1)…(n－m＋1)＝?n－m?！②Ann＝n！. (2)组合数公式
n?n－1??n－2?…?n－m＋1?n！Amnm
Cn＝m＝＝.
Amm！m！?n－m?！4．组合数的性质
mn
(1)Cn＝Cn
－m－
定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列 合成一组 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同 排列的个数 组合的个数 _；
mm1(2)Cn＋Cn＝Cmn＋1.
1．排列与排列数有什么区别？
提示：排列与排列数是两个不同的概念，排列是一个具体的排法，不是数，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数．
2．如何区分一个问题是排列问题还是组合问题？
提示：看选出的元素与顺序是否有关，若与顺序有关，则是排列问题，若与顺序无关，
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则是组合问题．
1．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案的种数是( )
A．12 B．10 C．9 D．8
解析：选A 先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排
2
到乙地，共有C12C4＝12种安排方案．
2．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 ( ) A．8 B．24 C．48 D．120
3
解析：选C 先排个位共有C12种方法，再排其余3位．则有A4种排法，根据分步乘法3
计数原理，所求的四位偶数的个数为C12A4＝48.
3．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法的种数是( )
A．12 B．18 C．24 D．36
1
解析：选A 先排第一列，共有A33种方法，再排第二列第一行共有C2种方法，第二列1
第二行，第三列第二行各有1种方法．根据分步乘法计数原理，共有A33C2×1×1＝12种排
列方法．
4．将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有1个小球，且每个盒子中的小球个数都不同，则共有________种不同放法．
解析：对这3个盒子中所放的小球的个数情况进行分类计数：第1类，这3个盒子中所放的小球的个数分别是1,2,6，此类有A33＝6种放法；第2类，这3个盒子中所放的小球的
3＝6种放法；第3类，这3个盒子中所放的小球的个数分别是个数分别是1,3,5，此类有A3
2,3,4，此类有A33＝6种放法．因此共有6＋6＋6＝18种满足题意的放法．
答案：18
5. 如图M，N，P，Q为海上四个小岛，现要建造三座桥，将这四个小岛连接起来，则共有________种不同的建桥方法.
解析：M，N，P，Q两两之间共有6条线段(桥抽象为线段)，任取3条有C36＝20种方法，其中不合题意的有4种方法．则共有20－4＝16种不同的建桥方法．
答案：16
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考点一 排 列 问 题 [例1] 3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数： (1)选其中5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体站成一排，男、女各站在一起； (4)全体站成一排，男生不能站在一起； (5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾．
5＝2 520种排法． [自主解答] (1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有A7
(2)前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A77＝5 040种排法．
3种排法；女生必须(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有A3
2
站在一起，是女生的全排列，有A44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A2种排法，
根据分步乘法计数原理， 共有A3A4A23·4·2＝288种排法．
4种排法，男生在4个女生隔成的5个空中(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A4
4A3＝1 440种排法． 安排共有A35种排法，故共有A4·5
(5)先安排甲，从除去排头和排尾的5个位中安排甲，有A15＝5种排法；再安排其他人，
1A6＝3 600种排法． 有A66＝720种排法．所以共有A5·6
【互动探究】
本例中若全体站成一排，男生必须站在一起，有多少种排法？
5
解：(捆绑法)即把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，故有A3A53·
＝720种排法．
【方法规律】
1．解决排列问题的主要方法 直接法 捆绑法 把符合条件的排列数直接列式计算 相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看成一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列 不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中 定序问题除法处理的方法，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列 插空法 除法法 2．解决排列类应用题的策略 (1)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置． (2)分排问题直排法处理．
(3)“小集团”排列问题中先集中后局部的处理方法．
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1．(2012·辽宁高考)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )
A．3×3! B．3×(3！)3 C．(3！)4 D．9!
解析：选C 把一家三口看成一个排列，然后再排列这3家，所以满足题意的坐法种数
334
为A33(A3)＝(3！).
2．(2014·南充模拟)将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有( )
A．30种 B．90种 C．180种 D．270种
22
C2C25C35C3
解析：选B 选分组，再排列．分组方法共有2，因此共有2·A33＝90. A2A2
考点二
组 合 问 题 [例2] (1)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法的种数是( )
A．60 B．63 C．65 D．66
(2)(2013·重庆高考)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________(用数字作答)．
[自主解答] (1)因为从1,2,3，…，9中共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和
422
为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故有C45＋C4＋C5C4＝
66种不同的取法．
(2)按每科选派人数分为3,1,1和2,2,1两类．
11131113
当选派人数为3,1,1时，有3类，共有C33C4C5＋C3C4C5＋C3C4C5＝200种选派方法． 21212122当选派人数为2,2,1时，有3类，共有C23C4C5＋C3C4C5＋C3C4C5＝390种选派方法．
故共有590种选派方法． [答案] (1)D (2)590
【方法规律】
1．解决组合应用题的一般思路
首先整体分类，要注意分类时，不重复不遗漏，用到分类加法计数原理；然后局部分步，用到分步乘法计数原理．
2．组合问题的常见题型及解题思路
常见题型有选派问题，抽样问题，图形问题，集合问题，分组问题．解答组合应用题时，要在仔细审题的基础上，分清问题是否为组合问题，对较复杂的组合问题，要搞清是“分类”还是“分步”解决，将复杂问题通过两个原理化归为简单问题．
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3．含有附加条件的组合问题的常用方法
通常用直接法或间接法，应注意“至少”“最多”“恰好”等词的含义的理解，对于涉及“至少”“至多”等词的组合问题，既可考虑反面情形即间接求解，也可以分类研究进行直接求解．
1．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法的种数为( )
A．30 B．35 C．42 D．48
1解析：选A 法一：分两种情况：(1)2门A,1门B，有C23C4＝12种选法；(2)1门A,2门2B，有C13C4＝3×6＝18种选法．所以共有12＋18＝30种选法．
法二：排除法：A类3门，B类4门，共7门，选3门，A，B各至少选1门，有C37－
3－C3＝35－1－4＝30种选法． C34
2．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)种数为( )
A．10 B．15 C．20 D．30
解析：选C 分三种情况：恰好打3局，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有2C23＝6种情形；恰好打5局(一人前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有2C24＝12种情形．所有可能出现的情形种数为2＋6＋12＝20.
高频考点
1．排列与组合是高中数学中的重要内容，也是高考命题的一个热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．
2．高考对排列与组合综合应用题的考查主要有以下几个命题角度： (1)相邻问题； (2)相间问题；
(3)特殊元素(位置)问题； (4)多元问题等．
[例3] (1)(2013·烟台模拟)有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行，如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有______种(用数字作答)．
(2)(2014·西安模拟)某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人
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考点三 排列与组合的综合应用
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