2.3.3 等比数列的前n项和(二)
一、基础过关
1．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5＝________. 2．等比数列{an}共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
3．银行一年定期储蓄存款年息为r，三年定期储蓄存款年息为q，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应略大于________．
4．等比数列{an}中，前n项和为Sn，S3＝2，S6＝6，则a10＋a11＋a12＝________.
5．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是________米(结果保留到个位)．
1
6．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{}的前5
an
项和为______．
7．一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？ 8．在等比数列{an}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，求S20的值． 二、能力提升
9．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则数列{an}的通项公式为________． 10．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计
五年内还清，则每年应偿还________万元．
11．某工厂月生产总值的平均增长率为q，则该工厂的年平均增长率为________． 12．利用等比数列前n项和公式证明
＋＋an1－bn1
nn－1n－22na＋ab＋ab＋…＋b＝，其中n∈N*，a，b是不为0的常数，且a≠b.
a－b三、探究与拓展
13．已知{an}是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn为它的前n项和．
(1)当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；
(2)当Sm，Sn，Sl成等差数列时，求证：对任意自然数k，am＋k，an＋k，al＋k也成等差数列． 答案
1311．84 2．2 3.[(1＋r)3－1] 4.16 5．300 6. 316
4
7．解 用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得an＋1＝an，
5
4
因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝的等比数列．
5热气球在前n分钟内上升的总高度为 a1?1－qn?
Sn＝a1＋a2＋…＋an＝
1－q
＝
?4?n?25×?1－??5??
41－5
?4?n?<125. ＝125×?1－??5??
故这个热气球上升的高度不可能超过125 m. 8．解 ∵S30≠3S10，∴q≠1.
???S30＝13S10?S10＝10
由?，∴?， ?S10＋S30＝140???S30＝130
??∴?a?1－q???1－q＝130
1
30
a1?1－q10?
＝10
1－q
，
∴q20＋q10－12＝0.∴q10＝3， a1?1－q20?
∴S20＝＝S10(1＋q10)
1－q＝10×(1＋3)＝40.
??1?n＝1?
9．an＝? n－2
?3×4?n≥2??
aγ?1＋γ?5
10. 11．(1＋q)12－1 5
?1＋γ?－1
b
12．证明 ∵a≠0，b≠0，a≠b，∴≠1.
a
∴左端＝an＋an－1b＋an－2b2＋…＋bn
bb?2?b?n? ＋…＋＝an?1＋a＋??a??a???
?b?n＋1?an?1－??a??
＝
b1－a
?b?n＋1?an＋1?1－??a??
＝ a－ban＋1－bn＋1＝＝右端．
a－b∴a
n
＋an－1b＋an－2b2＋…＋bn＝
an＋1－bn＋1
. a－b
13．(1)解 由已知，得an＝aqn－1，因此
S1＝a，S3＝a(1＋q＋q2)，S4＝a(1＋q＋q2＋q3)． 当S1，S3，S4成等差数列时，S4－S3＝S3－S1， 可得aq3＝aq＋aq2，
化简得q2－q－1＝0. 1±5
解得q＝. 2
(2)证明 若q＝1，则{an}的各项均为a，此时am＋k，an＋k，al＋k显然成等差数列． 若q≠1，由Sm，Sn，Sl成等差数列可得Sm＋Sl＝2Sn， a?qm－1?a?ql－1?2a?qn－1?即＋＝，整理得qm＋ql＝2qn.
q－1q－1q－1因此，am＋k＋al＋k＝aqk－1(qm＋ql)＝2aqn＋k－1＝2an＋k. 所以am＋k，an＋k，al＋k成等差数列．
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