高二数学复合函数的导数

般形式是y?f(?(x))，其中u称为中间变量

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怎样求复合函数的导数呢？ 已知函数f(x)的导数是f ’(x)，求函数[f(x)]的导数。 再如：求函数y?(3x?1)2的导数 。 法一：（展开求导） 法二：（复合函数求导） 结论：y'x?y'???'x

对于一般的复合函数，结论也成立 。

复合函数的求导法则

复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 ，即y'x?y'???'x或f'x(?(x))?f'(?)?'(x)特别地，??ax?b时，y'x?y'??a 三．例1．求下列函数的导数。

(1)y?(2x?3)3 （2）y?ln(5x?1) （3）y?1 (4)y?cos(1?2x) 3x?1

例2．试说明下列函数是怎样复合而成的，并求它们的导数。 （1）y?(2?x2)3 （2）y?sinx2 （3）y?cos(?4?x) （4）y?lnsin(3x?1)

例3．写出由下列函数复合而成的函数，并求它们的导数。 （1）y?cos?

??1?x2 （2）y?ln? ??lnx

例4．求y?(2x?1)的导数。

四．巩固练习：

1．求下列函数的导数。

232x（1）y?(2x?3) （2）y?(1?3x) （3）y?e （4）y?ln51 x

2．求曲线y?sin2x在点P（?，0）处的切线方程。

五、小结 ：

⑴复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；

⑵ 复合函数求导的基本步骤是： 分解——求导——相乘——回代 六．作业：课本P25： 1,2，3，及课本P28：9,10,11,12。（完成到试卷反面）