数学思想方法
【考纲解读 】
2. 能够对所学知识进行分类或归纳 识间的内在联系 .
【考点预测 】
1. 熟练掌握函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想
. , 系统地把握知
, 能应用数学思想方法分析和解决问题
1. 函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点，也是高考的一个热点。对函数试题的设计仍然会围绕几个基本初等函数和函数的性质、图象、应用考查函数知识；与方程、不等式、解析几何等内容相结合，考查函数知识的综合应用；在函数知识考查的同时，加强对函数方程、分类讨论、数形结合、等价转化
等数学思想方法的考查。
方式常以数学式、数学概念的几何意义、函数图象、解析几何等为载体综合考查 , 分类讨论思
想的考查重点为含有参数的函数性质问题、与等比数列的前 n 项和有关的计算推证问题、直
线与圆锥曲线的位置关系不定问题等。
2. 预测在今年的高考中 , 数形结合与分类讨论思想仍是考查的一个热点，数形结合的考查
3. 预测在今年的高考中 , 运用化归与转化思想解题的途径主要有：借助函数、方程（组） 辅助命题、等价变换、特殊的式与数的结构、几何特征进行转化 维与逆向思维化归。
【要点梳理 】
1. 函数与方程思想： 我们应用函数思想的几种常见题型是：
, 其方法有 : 正反转化、数形
转化、语义转化、等与不等、抽象问题与具体问题化归，一般问题与特殊问题化归，正向思
、 遇到变量， 构造函数关系解题；
有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通
项公式、前 n 项和的公式，都可以看成 n 的函数，数列问题也可以用函数方法解决。
2. 数形结合的思想 : 是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧 , 特别是在解选择与填空题时发挥着奇特功效 . 具体操作时 , 应注意以下几点 :(1) 准确画图 , 注意函数的定义域 ;(2) 用图象法讨论方程的解的个数 .
3 ．与分类讨论有关的知识点有： 直线的斜率分为存在和不存在两种情形、等比数列中的公 比 q 1 和 q 1 、由参数的变化引起的分类讨论、 由图形的不确定性引起的分类讨论、 指对函数的底数
a 分为 a 1 和 0 a 1两种情形等。 分类的原则是： 不重复、 不遗漏、 分层次讨论。
分类讨论的一般流程是：明确讨论的对象、选择分类的标准、逐类进行讨论、归纳整合。
4．转化与化归常用的方法有：直接转化法、换元法、数形结合法、构造法、坐标法、类比 法、特殊化方法等。
【考点在线 】 考点一
函数与方程思想
建立函数关系
1 (x)
函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，
型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函
数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：
f(x) 、 f
的单调性、
奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐
含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。
例 1. (2020
年高考江苏卷 8) 在平面直角坐标系
xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数
f (x)
2 x
的图象交于 P、 Q两点，则线段 PQ长的最小值是 ________.
【答案】 4
y kx y
2 x
【 解 析 】 设 坐 标 原 点 的 直 线 方 程 为 y kx( k 0),则由
解得交点坐标为
(
2k k
, 2k )
、 (
2k k
,
2k ) ， 即 为 P 、 Q 两 点 ， 所 以 线 段 PQ 长 为
2k 4 ，当且仅当 k 1时等号成立，故线段 2 2 2k 2 2 PQ长的最小值是 4.
k k
【名师点睛】 本小题考察函数与方程，两点间距离公式以及基本不等式，中档题 【备考提示】： 正确理解函数与方程思想是解答好本类题的关键. 练习 1: (2020 年高考山东卷理科
2
.
16) 已知函数
（ x）
= log
*
( 0
a x x b a
＞ ，且 a 1). 当 2＜ a
＜ 3＜ b＜ 4 时，函数
的零点
f（ x）
x0 (n, n 1), n
N , 则 n=
.
【答案】 2
【解析】 方程 log a x x b(a＞0，且 a 1) =0 的根为 x0 , 即函数 y log a x(2 a 3) 的图
象与函数 y x b(3
b 4) 的交点横坐标为 x 0 , 且 x0
(n,n 1),n
N * , 结合图象 , 因为当 b
(4,5) ; 当 y 2 时 ,
x a(2 a
对数函数 y
3) 时 , y 1, 此时对应直线上 y 1 的点的横坐标 x 1 log a x(2 a 3) 的图象上点的横坐标
(5,6) , 故所求的 n 2 .
x (4,9) , 直线 y x b(3 b 4) 的图
象上点的横坐标 x
考点二 数形结合思想
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用
大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用
这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。 对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，
“数”与“形”是一 关键是代数问题与
图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分 析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。
例 2. 若方程 lg( － x 2 ＋3x－ m)＝ lg(3 － x) 在 x∈ (0,3) 内有唯一解，求实数
m的取值范围。 【解析】 原方程变形为
3 x
0
, 即：
3 x 0 ( x 2)2
,
x 2 3x m 3 x
1 m
设曲线 y
1 ＝ (x － 2) 2
, x ∈ (0,3) 和直线 y 2 ＝ 1－m，图像如图所示 . 由图可知：
② 当 1－m＝ 0 时，有唯一解， m＝ 1;
②当 1≤1－ m<4时，有唯一解，即－ 3 ∴ m ＝ 1 或－ 3 此题也可设曲线 y 1 ＝－ (x －2) 2 ＋1 , x ∈ (0,3) 和直线 y 2 ＝ m后画出图像求解。 【名师点睛】 将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的 问题，再利用二次函数的图像进行解决 . 【备考提示】： 一般地，方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时，可以 借助于函数的图像直观解决， 简单明了。 此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况， 还可用分离参数法来求（也注意结合图像分析只一个 x 值） . 2练习 2：(2020 年高考北京卷理科 13) 已知函数 f (x)x ,x 2 若关于 x 的方程 f(x)=k ( x 1)3 , x 2 有两个不同的实根，则数 k 的取值范围是 ____ ___. 【答案】（0， 1） 【解析】 画出函数图象与直线 y=k, 观察 , 可得结果 .
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