所示的图象上．该图象从左至右，依次是线段OA、曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线y??5x?205x?1230的一部分，且点A，B，C的横坐标分别为4，10，12
（1）求该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式；
（2）直接写出第x个月所获得S（万元）与时间x（月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）； （3）前12个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？ 【答案】（1）当0?x?4时，线段OA的函数关系式为y??10x;当4?x?10时， 由于曲线AB所在抛物线的顶点为A（4，－40），设其解析式为y?a?x?4??40
22在y??5x?205x?1230中，令x=10，得y?320；∴B（10，320）
∵B（10，320）在该抛物线上∴320?a?10?4??40解得a?10∴当4?x?10时，
22y?10?x?4??40=10x2?80x?120
2??10x(x?1,2,3,4)， ?2综上可知，y??10x?80x?120( ，x?5,6,7,8,9，10)??5x2?205x?1230(x?10，11,12). ?(2) 当0?x?4时,S??10 当5?x?10时,S?20x?90 当11?x?12时, S??10x?210
(3) 10月份该公司所获得的利润最多,最多利润是110万元.
六，二次函数杂题 有关增长率问题
求解增长率问题的关键是正确理解增长率的含义．一般地，如果某种量原来是a，每次以相同的增长率
（或减少率）x增长（或减少），经过n次后的量便是a(1?x)（或a(1?x)）．
例1（湖北黄冈市）市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？
22
解 设这种药品平均降价的百分率是x．由题意，有200(1﹣x)=128，则(1﹣x)=0.64 ∴1﹣x=+0.8， ∴x1=0.2=20%， x2=1.8(不合题意，舍去)，答：这种药品平均每次降价20% 例2 某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同．
（1）该公司2006年盈利多少万元？
（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？
分析：
（1）数量关系：在这个问题中有三个量：基数（原有部分），增长部分、增长率，其中，增长率=（2）列表：设年盈利平均增长率为x 2005 2006 2007 基数 / 1500 1500（1+x） 增长部分 / 1500x 1500（1+x）x 总数 1500 1500+1500x=1500（1+x） 2160 增长部分
基数nn（3）2007年的盈利为：1500（1+x）+1500（1+x）x =1500（1+x）（1+x）=1500（1+x） （4）等量关系：2007年的盈利=2160即1500（1+x）=2160，它是一元二次方程。 解：（1）设年盈利的平均增长率为x ，
2
2
2根据题意，得 1500(1?x)?2160 解得x1?0.2，x2??2.2（不合题意，舍去）
?1500(1?x)?1500(1?0.2)?1800 答：2006年该公司盈利1800万元．
（2） 2160(1?0.2)?2592 答：预计2008年该公司盈利2592万元．
想一想：如果我们不设“年盈利平均增长率为x”，直接设“2006年该公司盈利x万元”行不行？ 2005年，2006年，2007年该公司的盈利数分别为：1500，1500（1+x），1500（1+x）。我们发现这三个数
2
1500?1?x?1500?1?x?1500?1?x?1500?1?x?很有意思，=1+x，=1+x，即=。也就是说：
1500?1?x?1500?1?x?15001500222006年盈利数：2005年盈利数=2007年盈利数：2006年盈利数这样我们可以直接设：2006年该公司盈利x万元。
新解：设2006年该公司盈利x万元根据题意，得
1500x?（注意：这个方程我们没有见过，但是可x21602
以利用我们学过的“比例的基本性质”去解。）整理，得 x=1500×2160， 解得 x=±1800（负值舍去）
经检验，x=±1800都是原方程的解答：2006年该公司盈利1800万元。
3、（滨州）某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形．其中，抽屉底面周长为180cm，高为20cm．请
通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）． 考点： 二次函数的应用． 分析： 根据题意列出二次函数关系式，然后利用二次函数的性质求最大值． 解答： 解：已知抽屉底面宽为x cm，则底面长为180÷2﹣x=（90﹣x）cm． 由题意得：y=x（90﹣x）×20=﹣20（x2﹣90x）=﹣20（x﹣45）2+40500 当x=45时，y有最大值，最大值为40500． 答：当抽屉底面宽为45cm时，抽屉的体积最大，最大体积为40500cm3． 点评： 本题考查利用二次函数解决实际问题．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=﹣x2﹣2x+5，y=3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．
4、（潍坊市）为了改善市民的生活环境，我是在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场.在Rt△ABC内修建矩形水池DEFG，使顶点D、E在斜边AB上，F、G分别在直角边BC、AC上；又分别以AB、BC、AC为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设地砖.其中AB?243米，?BAC?60?.设EF?x米，DE?y米.
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）当x为何值时，矩形DEFG的面积最大？最大面积是多少？ （3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当x为何值时，矩形DEFG的面积等于两弯新月面积的
1？ 3
答案：（1）在Rt△ABC中，由题意得AC=123米，BC=36米，∠ABC=30°,所以
AD?DGx3EF??x,BE??3x,tan60?3tan30?334x?3x?243?3x,33（
0
＜
x
又AD+DE+BE=AB,所以
y?243?＜8）.(2)矩形DEFG的面积
S?xy?x(243?444矩形DEFG的面积最大，3x)??3x2?243x??3(x?9)2?1083.所以当x=9时，
333最大面积为1083平方米.（3）记AC为直径的半圆\\、BC为直径的半圆、AB为直径的半圆面积分别为S1、S2、S3，
111?AC2,S2??BC2,S3??AB2,由AC2+BC2=AB2可知S1+S2=S3，∴S1+S2-S=S3-S△888141 ,故S=S 所以两弯新月的面积S=(平方米)由?123?36?2163?3(x?9)?1083??2163， △ABCABC
23312即(x?9)?27,解得x?9?33，符合题意，所以当x?9?33米时，矩形DEFG的面积等于两弯新月面积的.
3两弯新月面积为S，则S1?考点：考查了解直角三角形，二次函数最值求法以及一元二次方程的解法。
点评：本题是二次函数的实际问题。解题的关键是对于实际问题能够灵活地构建恰当的数学模型，并综合应用其相关性质加以解答．
5、（河北）某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩．Q = W + 100，而W的大小与运输次数n及平均速度x（km/h）有关（不考虑其他因素），W由两部分的和组成：一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比．试行中得到了表中的数据．
（1）用含x和n的式子表示Q；
（2）当x = 70，Q = 450时，求n的值；
（3）若n = 3，要使Q最大，确定x的值；
（4）设n = 2，x = 40，能否在n增加m%（m＞0）
同时x减少m%的情况下，而Q的值仍为420，若能，求出m的值；若不能，
2 1 次数n
请说明理由．
240 60 速度x b4ac－b2
参考公式：抛物线y＝ax+bx+c(a≠0)的顶点坐标是（－，）
2a4a420 100 指数Q 解析：
（1）设W?k1x2?k2nx，∴Q?k1x2?k2nx?100
1?2??k1???420?40k1?2?40k2?100 由表中数据，得?，解得?10 2???100?60k1?1?60k2?100?k2?6∴Q??121x?6nx?100（2）由题意，得450???702?6?70n?100 1010∴n=2 （3）当n=3时，Q??12118=90 9分 x?18x?100由a???0可知，要使Q最大，x??110102?(?)10（4）由题意，得420??1[40(1?m%)]2?6?2(1?m%)?40(1?m%)?100 10分 1012即2(m%)?m%?0，解得m%?，或m%=0（舍去）∴m=50 ·· 12分
2为整数时，每个月的利润不低于2200元（或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润
6.（贵州省黔东南州）凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去。
（1）设每间包房收费提高x（元），则每间包房的收入为y1（元），但会减少y2间包房租出，请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式。
（2）为了投资少而利润大，每间包房提高x（元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y（元），请写出y与x之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由。 【关键词】确定一次函数解析式
【答案】解：（1）y1?100?x y2?y??11x（2）y?(100?x)?(100?x) 即：221(x?50)2?11250因为提价前包房费总收入为100×100=10000。 2当x=50时，可获最大包房收入11250元，因为11250>10000。又因为每次提价为20元，所以每间包房晚餐应提高40元或60元。
7. （湖北鄂州）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润P??12?x?60??41（万元）．当地政府拟在“十二?五”规划中加快开发该特100产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润
Q??992942?10?x???100?x??160（万元） 1005⑴若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？
⑵若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？ ⑶根据⑴、⑵，该方案是否具有实施价值？
【答案】解：⑴当x=60时，P最大且为41，故五年获利最大值是41×5=205万元．
⑵前两年：0≤x≤50，此时因为P随x增大而增大，所以x=50时，P值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40×2=80万元．后三年：设每年获利为y，设当地投资额为x,则外地投资额为100－x，所以y=P＋Q
=??22?1?992294?2?x?x?160?x?60x?165+==?x?30?1065，表明x=30时，y最大?x?60??41??????1001005????且为1065，那么三年获利最大为1065×3=3495万元，故五年获利最大值为80＋3495－50×2=3475万元．
⑶有极大的实施价值．
8. （山东潍坊）2011年上半年，某种农产品受不良炒作的影响，价格一路上扬，8月初国家实施调控措施后，该农产品的价格开始回落.其中，1月份至7月份，该农产品的月平均价格y元/千克与月份x呈一次函数关系；7月份至12月份，月平均价格元/千克与月份x呈二次函数关系.已知1月、7月、9月和12月这四个月的月平均价格分别为8元/千克、26元/千克、14元/千克、11元/千克.
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