中考二次函数动点问题(含答案)

过点Q作QE⊥x轴，于E，所以∠QED=∠BOA=900 DQ∥AB，∠ BAO=∠QDE， △DQE ∽△ABO 即

所以QE=，DE=，所以OE = OD + DE=2+=，所以Q（，）

ABCDABCDABCD

设直线AQ的解析式为ABCD 则 由此得

ABCDABCDABCD 联立

所以直线AQ的解析式为

ABCD由此得

所以M

ABCDABCD则：在对称轴上存在点M

ABCD，使MQ+MC的值最小。

7. 如图9，在平面直角坐标系中，二次函数ABCD的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），

OB＝OC ，tan∠ACO＝．

ABCD（1）求这个二次函数的表达式．

（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．

（4）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.

yy

AOBxAOE

CC

（1）方法一：由已知得：C（0，－3），A（－1，0） …1分 DD将A、B、C三点的坐标代入得 ……………………2分 图 9图 10BxGABCD解得：

……………………3分

ABCD9 / 12

所以这个二次函数的表达式为：ABCD ……………………3分

方法二：由已知得：C（0，－3），A（－1，0） ………………………1分 设该表达式为：ABCD ……………………2分

将C点的坐标代入得：ABCD ……………………3分 所以这个二次函数的表达式为：ABCD ……………………3分

（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）

（2）方法一：存在，F点的坐标为（2，－3） ……………………4分 理由：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：ABCD ∴E点的坐标为（－3，0） ……………………4分 由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF ∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

∴存在点F，坐标为（2，－3） ……………………5分 方法二：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：ABCD

∴E点的坐标为（－3，0） ………………………4分 ∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

∴F点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3） 代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合

∴存在点F，坐标为（2，－3） ………………………5分

（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0），则N（R+1，R）， 代入抛物线的表达式，解得 …………6分

ABCD②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0）， 则N（r+1，－r），

代入抛物线的表达式，解得 ………7分

y1MRRNABCD∴圆的半径为

或． ……………7分

ABCD

（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q， 易得G（2，－3），直线AG为 ．……………8分 设P（x， ），则Q（x，－x－1），PQ ． ……………………9分

AMO1rrNBx

当时，△APG的面积最大

此时P点的坐标为，． ……………………10分

8．（本小题12分）解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8

∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC ∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8） 又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2 ∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）

∴A、B、C三点的坐标分别是A（－6，0）、B（2，0）、C（0，8） （2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上

∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式y＝ax2＋bx＋8，得 解得

D10 / 12

∴所求抛物线的表达式为y＝－x2－x＋8 （3）∵AB＝8，OC＝8

∴S△ABC ＝×8×8=32

（4）依题意，AE＝m，则BE＝8－m， ∵OA＝6，OC＝8， ∴AC＝10 ∵EF∥AC ∴△BEF∽△BAC ∴＝ 即＝ ∴EF＝

过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝ ∴＝ ∴FG＝·＝8－m

∴S＝S△BCE－S△BFE＝（8－m）×8－（8－m）（8－m） ＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m2＋4m 自变量m的取值范围是0＜m＜8

（5）存在． 理由：

∵S＝－m2＋4m＝－（m－4）2＋8 且－＜0， ∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8 ∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0） ∴△BCE为等腰三角形．

9.（12分）已知：如图14，抛物线与 轴交于点 ，点 ，与直线相交于点 ，点 ，直线与 轴交于

点 ．

（1）写出直线 的解析式． （2）求 的面积．

（3）若点 在线段 上以每秒1个单位长度的速度从 向 运动（不与 重合），同时，点 在射线 上以每秒2个单位长度的速度从 向 运动．设运动时间为 秒，请写出 的面积 与 的函数关系式，并求出点 运动多少时间时， 的面积最大，最大面积是多少？

解：（1）在中，令

，

1分 ，

又 点 在上

的解析式为（2）由

ABCD，得

2分 4分

ABCDABCD，ABCD

ABCDABCD11 / 12

ABCD，ABCD ABCD

（3）过点 ABCD作 于点

由直线可得：

在 中， ，

ABCD，则

ABCD

，

ABCD

ABCDABCD ABCD ABCD

ABCD此抛物线开口向下，ABCD当ABCD时，

ABCD

ABCD当点ABCD运动2秒时，ABCD的面积达到最大，最大为

ABCD．12 / 12

5分 6分

7分 8分

9分

10分 11分

12分