三角函数常见题
1、A，B，C为三角形内角，已知1+cos2A-cos2B-cos2C=2sinBsinC，求角A 解：1+cos2A-cos2B-cos2C=2sinBsinC 2cos2A-1-2cos2B+1+2sin2C=2sinBsinC cos2A-cos2B+sin2 (A+B)=sinBsinC
cos2A-cos2B+sin2Acos2B+2sinAcosAsinBcosB+cos2Asin2B=sinBsinC cos2A-cos2Acos2B+2sinAcosAsinBcosB+cos2Asin2B=sinBsinC 2cos2AsinB+2sinAcosAcosB=sin(180-A-B) 2cosA(cosAsinB+sinAcosB)-sin(A+B)=0 Sin(A+B)(2cosA-1)=0 cosA=1/2 A=60
2、证明：(1+sinα+cosα+2sinαcosα)/(1+sinα+cosα)=sinα+cosα <===>1+sina+cosa+2sinacosa=sina+cosa+(sina+cosa)2 <===>1+sina+cosa+2sinacosa=sina+cosa+1+2sinacosa <===>0=0恒成立
以上各步可逆，原命题成立 证毕
3、在△ABC中,sinB*sinC=cos2(A/2),则△ABC的形状是? sinBsin(180-A-B)=(1+cosA)/2 2sinBsin(A+B)=1+cosA
2sinB(sinAcosB+cosAsinB)=1+cosA sin2BsinA+2cosAsin2B-cosA-1=0 sin2BsinA+cosA(2sin2B-1)=1 sin2BsinA-cosAcos2B=1 cos2BcosA-sin2BsinA=-1 cos(2B+A)=-1
因为A，B是三角形内角 2B+A=180
因为A+B+C=180 所以B=C
三角形ABC是等腰三角形 4、求函数y=2-cos(x/3)的最大值和最小值并分别写出使这个函数取得最大值和最小值的x的集合 -1≤cos(x/3)≤1 -1≤-cos(x/3)≤1 1≤2-cos(x/3)≤3 值域[1,3]
当cos(x/3)=1时即x/3=2kπ即x=6kπ时，y有最小值1此时{x｜x=6kπ,k∈Z} 当cos(x/3)=-1时即x/3=2kπ+π即x=6kπ+3π时，y有最小值1此时{x｜x=6kπ+3π,k∈Z}
5、已知△ABC，若(2c-b)tanB=btanA，求角A [(2c-b)/b]sinB/cosB=sinA/cosA 正弦定理c/sinC=b/sinB=2R代入
(2sinC-sinB)cosA=sinAcosB
2sin(A+B)cosA=sinAcosB+cosAsinB 2sin(A+B)cosA-sin(A+B)=0 sin(A+B)(2cosA-1)=0 sin(A+B)≠0 cosA=1/2 A=60度
6、已知2cosx=3cosy求证：3cosx-2cosy/2siny-3sinx=tan(x+y) 证明：3cosx-2cosy/2siny-3sinx=tan(x+y)
<==>(3cosx-2cosy)/(2siny-3sinx)=sin(x+y)/cos(x+y)
<==>(3cosx-2cosy)/(2siny-3sinx)=(sinxcosy+cosxsiny)/(cosxcosy-sinxsiny) <==>3cos2xcosy-3cosxsinxsiny-2cosxcos2y+2sinxcosxsiny=2sinxsinycosy+2sin2ycosx-3sin2xcosy-3sinxcosxsiny <==>3cos2xcosy+3sin2xcosy=2sin2ycosx+2cos2ycosx <==>3cosy(sin2x+cos2x)=2cosx(sin2y+cos2y) <==>3cosy=2cosx已知 所以以上各步可逆 原命题成立 7、已知△ABC中，sinB+sinC=√2sinA，且边长a=4，若S△ABC=3sinA，求cosA的值
正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R为三角形外接圆半径) sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R 代入b/2R+c/2R=4√2/2R b+c=4√2(1) 1/2bcsinA=3sinA bc=6(2) (1)平方 b2+2bc+c2=32 b2+c2=20
余弦定理cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=(20-16)/12=1/3 8、在三角形ABC中，角ABC的对边分别为abc已知sin^2*2C+sin2CsinC+cos2C=1.且a＋b＝5，c＝跟号7求（1）角C的大小（2）三角形ABC的面积 sin22C+sin2CsinC+cos2C=1 sin2CsinC+cos2C=cos22C 2sin2CcosC+cos2C(1-cos2C)=0 2sin2CcosC+2sin2Ccos2C=0 C不为0 所以
cosC+cos2C=0 2cos2C+cosC-1=0 (2cosC-1)(cosC+1)=0
cosC=1/2或cosC=-1(舍去) C=π/3
余弦定理 cosC=(a2+b2-c2)/(2ab) 1/2=[(a+b)2-2ab-c2]/(2ab) 3ab=18 ab=6
S三角形ABC=1/2absinC=1/2×6×sin60=3√3/2 9、π/4 a-π/4是第一象限角 所以sin(a-π/4)=√[1-cos2(a-π/4)]=√48/7 cos(a-π/4)=1/7 -π/4 所以3π/4+b是第二象限角 所以cos(3π/4+b)=-√75/14 sin(a+b)=-cos(a+b+π/2)=-cos(a-π/4+b+3π/4) =sin(a-π/4)sin(b+3π/4)-cos(a-π/4)cos(b+3π/4) =√48/7×11/14+1/7×√75/14 =√3/2 π/4 所以a+b=π/3或2π/3 10、在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是叫A、B、C所对的边，C为60度，c=根号7，且三角形ABC的面积为3*根号3/2，求a+b的值 S三角形ABC=1/2absinC 3√3/2=1/2absin60 ab=6 余弦定理 cosC=(a2+b2-c2)/(2ab) cos60=(a2+b2-7)/(2×6) a2+b2=7+6 a2+b2=13 (a+b)2-2ab=13 (a+b)2=25 a+b=5 因为a>0，b>0 11、三角形ABC中,cosA=12/13,cosB=-3/5,则sinC cosA=12/13 所以A为锐角 sin2A=1-cos2A=1-144/169=25/169 sinA=5/13 cosB=-3/5 所以B为钝角 sin2B=1-cos2B=1-9/25=16/25 sinB=4/5 sinC=sin(180-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB =5/13×（-3/5）+12/13×4/5 =-15/65+48/65 =33/65 12、若a,b,c分别表示三角形ABC内角ABC所对的边长，且（sinA+sinB+sinC)(sinA+sinB-sinC)=3sinAsinB.若三角形面积为10根号3，周长20，求边c。 解：(sinA+sinB+sinC)(sinA+sinB-sinC)=3sinAsinB (sinA+sinB)2-sin2C=3sinAsinB sin2A+2sinAsinB+sin2B-sin2(A+B)=3sinAsinB sin2A+sin2B-(sinAcosB+cosAsinB)2=sinAsinB sin2A+sin2B-sin2Acos2B-2sinAcosBcosAsinB-cos2Asin2B=sinAsinB 2sin2Asin2B-2sinAcosBsinBcosA=sinAsinB cosAcosB-sinAsinB=-1/2 cos(A+B)=-1/2 A+B=2π/3 所以C=π-(A+B)=π/3 S三角形ABC=1/2absinC 1/2ab×sin(π/3)=10√3 ab=40(1) 根据题意 a+b+c=20则a+b=20-c 余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC c2=a2+b2+2ab-3ab c2=(a+b)2-3ab c2=(20-c)2-120 c2=400-40c+c2-120 40c=280 c=7 13、在三角形ABC中，A，B，C，为三角形的三个内角，且满足条件sin(A-C)=1，sinB=3分之1，第一问：求sinA的值。 sin(A-C)=1 所以A-C=π/2 C=A-π/2 sinB=sin(π-A-C)=sin(A+C) =sinAcosC+cosAsinC=sinAcos(A-π/2)+cosAsin(A-π/2) =sin2A-cos2A 所以 sin2A-cos2A=1/3 sin2A+cos2A=1 两式相加
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