十九、“牛吃草”问题
【含义】 “牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。
【数量关系】 草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数 【解题思路和方法】 解这类题的关键是求出草每天的生长量。
例1: 一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？
原有草量 ??? 1头牛1天吃的草 20天内草生长量 20天 1×10×20＝原有草量＋20天内生长量 10头牛20天把草吃完 原有草量 ??? 1头牛1天吃的草 10天内草生长量 10天 1×15×10＝原有草量＋10天内生长量 15头牛10天把草吃完 原有草量 ??? 1头牛1天吃的草 ?头牛5天把草吃完 5天内草生长量 5天 1×?×5＝原有草量＋5天内生长量 （20－10）天内草的生长量为1×10×20－1×15×10＝50 草每天的生长量为 50÷（20－10）＝5 原有草量＝10天内总草量－10内生长量＝1×15×10－5×10＝100 5 天内草总量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5×5＝125
解草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5 天内的草总量要5 天吃完的话，得有多少头牛？ 设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：
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（1）求草每天的生长量
因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以
1×10×20＝原有草量＋20天内生长量 同理 1×15×10＝原有草量＋10天内生长量 由此可知（20－10）天内草的生长量为 1×10×20-1×15×10＝50
因此，草每天的生长量为 50÷（20－10）＝5 （2）求原有草量
原有草量＝10天内总草量－10内生长量＝1×15×10－5×10＝100 （3）求5 天内草总量
5 天内草总量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5×5＝125 （4）求多少头牛5 天吃完草
因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。 因此5天吃完草需要牛的头数 125÷5＝25（头） 答：需要25头牛5天可以把草吃完。
例2: 一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完？
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原有水量 ??? 每人每小时淘水量为1 3小时进水量 3小时水量 1×12×3＝原有水量＋3小时进水量 12个人3小时淘完 原有水量 ??? 每人每小时淘水量为1 10小时进水量 ??? 10小时水量 1×5×10＝原有水量＋10小时进水量 5人10小时淘完 原有水量 ??? 每人每小时淘水量为1 17人几小时可以淘完？ ?小时进水量 ?小时水量 1×17×?＝原有水量＋?小时进水量 （10－3）小时内的进水量为 1×5×10－1×12×3＝14 每小时的进水量为 14÷（10－3）＝2 原有水量＝1×12×3－3小时进水量＝36－2×3＝30
解这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数（相当于“牛数”），求时间。设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算：
（1）求每小时进水量
因为，3小时内的总水量＝1×12×3＝原有水量＋3小时进水量 10小时内的总水量＝1×5×10＝原有水量＋10小时进水量 所以，（10－3）小时内的进水量为 1×5×10－1×12×3＝14 因此，每小时的进水量为 14÷（10－3）＝2 （2）求淘水前原有水量
原有水量＝1×12×3－3小时进水量＝36－2×3＝30 （3）求17人几小时淘完
17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为（17－2），所以17人淘完水的时间是
30÷（17－2）＝2（小时）
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答：17人2小时可以淘完水。
二十、 鸡兔同笼问题
【含义】这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。
【数量关系】第一鸡兔同笼问题： 假设全都是鸡，则有
兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2） 假设全都是兔，则有
鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2） 第二鸡兔同笼问题： 假设全都是鸡，则有
兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2） 假设全都是兔，则有
鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）
【解题思路和方法】解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。
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例1: 长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？
假设全都是兔，则有 鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2） 140－94=46只脚 共有94只脚 鸡数＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只） 假设35只全为兔脚有4×35=140只脚
解 假设35只全为兔，则
鸡数＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只） 兔数＝35－23＝12（只） 也可以先假设35只全为鸡，则
兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只） 鸡数＝35－12＝23（只） 答：有鸡23只，有兔12只。
例2: 2亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千克，求白菜有多少亩？
共施肥9千克 白菜亩数＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（亩） 假设16亩全都是菠菜施肥1÷2×16=8千克 9－1÷2×16=1 每亩白菜比每亩菠菜多施肥（3÷5－1÷2）千克
解此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥（1÷2）千克”与“每只鸡有两个脚”相对应，“每亩白菜施肥（3÷5）千克”与“每只兔有4只脚”相对应，
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