2009年湖北省高考数学试题答案（理数）

（Ⅰ）如图1，当a?x??p 2pp时，点A(,0)即为抛物线的焦点，l为其准线22PP22uuuuvuuuv证法1：QAM1?(?p,y1),AN1?(?p,y2)

此时M1(?,y1),N1(?,y2),并由 ①可得y1y2??p2

uuuuvuuuv?AM1?AN1?p2?y1y2?p2?p2?0,即AM1?AN1

证法2：

QKAM1??y1y,KAN1??2,pp

?KAM1?KAN1y1y2p2?2??2??1,即AM1?AN1. pp

(Ⅱ)存在??4，使得对任意的a?0，都有S22?4S1S3成立，证明如下： 证法1：记直线l与x轴的交点为A1,则OA?OA1?a。于是有

11S1??MM1?A1M1?（x1?a)y1221 S2??M1N1?AA1?ay1?y2211S3??NN1?A1N1?（x2?a)y222 17

2?S2?4S1S3?(ay1?y2)2?(x1?a)y1?(x2?a)y2?a[(y1?y2)?4y1y2]?[x1x2?a(x1?x2)?a]y1y2222

将①、②、③代入上式化简可得

a2(4m2p2?8ap)?2ap(2am2p?4a2)?4a2p(m2p?2a)

上式恒成立，即对任意a?0,S22?4S1S3成立

证法2：如图2，连接MN1,NM1,则由y1y2??2ap,y12?2px1可得

KOM?y12p2py22py2y2?????KON1,所以直线MN1经过原点O， x1y1y1y2?2ap?a同理可证直线NM1也经过原点O

又OA?OA1?a设M1A1?h1,N1A1?h2,MM1?d1,NN1?d2,则

S1?111d1h1,S2??2a(h1?h2)?a(h1?h2),S3?d2h2. 222（2）当b?1时，函数y?f?(x)得对称轴x=b位于区间[?1,1]之外 此时M?max{g(?1),g(1),g(b)}

由f?(1)?f?(?1)?4b,有f?(b)?f?(?1)?(bm1)2?0

① 若?1?b?0,则f?(1)?f?(-1)?f?(b),?g(-1)?max{g(?1),g(b)}

于是M?max{f?(?1),f?(b)}?(f?(1)?f?(b))?(f?(1)?f?(b))?(b?1)2 ② 若0?b?1，则f?(=1)?f?(1)?f?(b)，?g(1)?max{g(?1),g(b)} 于是

1111M?max{f?(?1),f?(b)}?(f?(?1)?f?(b))?(f?(?1)?f?(b))?(b?1)2?

22221综上，对任意的b、c都有M?

2121212而当，b?0,c?时，g(x)??x2?1211在区间[?1,1]上的最大值M?

2212故M?K对任意的b，c恒成立的k的最大值为

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