绘制了如图所示的频率分布直方图.
（1）现从年龄在20,30?,30,40?,40,50?内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用X表示年龄在?30,40?内的人数，求X的分布列和数学期望；
（2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有k名市民的年龄在?30,50?的概率为P?X?k??k?0,1,2,?,20?.当P?X?k?最大时，求k的值. 【答案】（1）分布列见解析；
???3；（2）7. 430,40?，40,50?内的人数，可得X的可能取【解析】（1）根据分层抽样的方法判断出年龄在20,30?，值为0，1，2，结合组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得X的数学期望；（2）设年龄在30,50?内的人数为Y，则Y?B?20,0.35?，设
????t?P?Y?k?P?Y?k?1?,可得若t?1，则k?7.35，P?Y?k?1??P?Y?k?；若t?1，则k?7.35，
P?Y?k?1??P?Y?k?，从而可得结果.
【详解】
（1）按分层抽样的方法抽取的8人中，
0.005?8?1人，
0.005?0.010?0.0250.010?8?2人， 年龄在?30,40?内的人数为
0.005?0.010?0.0250.025?8?5人. 年龄在?40,50?内的人数为
0.005?0.010?0.025年龄在20,30?内的人数为
?所以X的可能取值为0，1，2，
30C6C25?所以P?X?0??， 3C81421C6C215P?X?1???， 3C828第 13 页 共 19 页
12C6C23P?X?2???， 3C828所以X的分布列为
X P
0 1 2 5 1415 283 28EX?0?51533?1??2??. 1428284（2）设在抽取的20名市民中，年龄在30,50?内的人数为Y，Y服从二项分布.由频率分布直方图可知，年龄在30,50?内的频率为?0.010?0.025??10?0.35， 所以Y?B?20,0.35?，
k所以P?Y?k??C20?0.35??1?0.35?k20?k?? ?k?0,1,2,L,20?.
20?k21?k设t?P?Y?k?P?Y?k?1??
kC20?0.35??1?0.35?kCk?120?0.35??1?0.35?k?1?
7?21?k?13k?k?1,2,L,20?，
若t?1，则k?7.35，P?Y?k?1??P?Y?k?； 若t?1，则k?7.35，P?Y?k?1??P?Y?k?.
所以当k?7时，P?Y?k?最大，即当P?Y?k?最大时，k?7. 【点睛】
本题主要考查分层抽样的定义、直方图的应用以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.
x2y220．已知椭圆??1的右焦点为F，过F的直线l交椭圆于P、Q两点(直线l与坐标轴不垂直)，
62若PQ的中点为N，O为坐标原点，直线ON交直线x?3于M. (Ⅰ)求证：MF?PQ；(Ⅱ)求
PQMF的最大值.
【答案】（1）见解析； （2）3. 第 14 页 共 19 页
?x2y2??1,?2222Q(Ⅰ) 【解析】联立?6可得?3k?1?x?12kx?12k?6?0.设P点的坐标为?xp,yp?，2?y?k?x?2?,?点的坐标为xq,yq,再计算出ON的斜率为kON??2??11，即得kMF?kPQ??1.MF的斜率为kMF??，3kk222x?x?kxp?xq????PQpq???? 因此MF与PQ垂直. (Ⅱ)先求出I??1?MF?1?2k?k2?xp?xq?【详解】
2??42PQ144k2k?1k2?12?2??k?242?24kI的最大值. 2，再求max，即得2?3k2?12MF3k?1?3k?1???????x2y2??1,?2222(Ⅰ)联立?6可得?3k?1?x?12kx?12k?6?0. 2?y?k?x?2?,?设P点的坐标为xp,yp，Q点的坐标为xq,yq，则
????12k2?612k2. ，xpxq?xp?xq?223k?13k?1于是有yp?yq?kxp?xq?4k????4k.
3k2?1?6k2?2k?1PQN,k??.. 因为的中点为N，所以?2因此的斜率为ON?ON23k?13k?13k??因为直线ON交直线x?3于M，所以M?3,???1?1k??.故的斜率为， MF?MFk?k即得kMF?kPQ??1.因此MF与PQ垂直，?MFQ?222?2.
2?PQ??xp?xq??k?xp?xq?2222???kx?x?kx?x??(Ⅱ)设I?? ??pq?pq??4xpxq? 1?MF????1?2k??42144k2k?1k2?12???k?242?24k22. 22?3k?13k?1?3k?1??2????令u?3k2?1，则
?u?1??u?2???16?I?83u21＜1. u2111?16??11?9???????????. ??3?u22u2?3???u4?16??由于u?3k2?1＞1，故0?第 15 页 共 19 页
因此Imax?3(当u?4时取到最大值，也即k??1). 综上所述，【点睛】
（1）本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和直线的位置关系，考查椭圆中的最值问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化计算能力.(2)解答第2问的关键有两点，其一是求出
PQ的最大值为3. MFk2?1?PQ?2I????24k2，其二是求函数的最大值. 2?MF?3k?12??21．已知函数
f(x)??x2?x?4?e?x.
（1）若不等式
f(x)?m在区间[1,3]上有解，求实数m的取值范围；
（2）已知函数F(x)?f(x)?ax，a?R，若x0是F(x)的极大值点，求F?x0?的取值范围. 【答案】（1）??44??2??,???（2）??4,4?
e??e??【解析】（1）转化条件得f(x)min?m，利用导数求出f(x)在区间[1,3]上的最小值即可； （2）求导得F?2(x)???x2?x?5?e?x?a，由极大值可得可知?1?x0?4且a???x0?x0?5?e?x0，
?x0则F?x0??x0?4x0?4)e3?，利用导数求出h(x)??x3?4x?4?e?x在?1?x0?4的值域即可得解.
【详解】 （1）若不等式因为所以
f(x)?m在x?[1,3]上有解，则f(x)min?m.
f(x)??x2?x?4?e?x， f?(x)???x2?x?5?e?x.
21?21?令g(x)??x2?x?5???x???，x?[1,3]，则易知g(x)在x?[1,3]上单调递减，且
2?4?g(1)?5?0，g(3)??1?0.故存在x1?(1,3)，使得f(x)在区间[1,x1?上单调递增，在区间(x1,3]上
单调递减.
所以，当x?[1,3]时，f(x)min?min{f(1),f(3)}??故实数m的取值范围为??（2）由题意知F(x)?2， e?2?,???. ?e?f(x)?ax??x2?x?4?e?x?ax，
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