2020年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破专题28双曲线(解析版)

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2020年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破

专题28双曲线

考点命题分析

双曲线是圆锥曲线的重要组成部分，通过对近几年高考数学全国卷和省市卷的研究发现，高考对于双曲线的考查多以选择题、填空题为主.题型主要分为两类:一类是基础题，单纯考查双曲线的基本概念和简单几何性质，考查学生对双曲线基础知识的掌握情况；一类是综合题，表现为双曲线与平面几何的有关知识(如等边三角形的有关性质、三角形的中位线定理、线段垂直平分线的性质、圆的有关定理等)、向量、不等式、函数等知识相结合，考查数形结合、化归与转化、方程思想等，同时考查学生的运算求解能力.

在求解策略上，对于基础题可直接套用相对应的公式或运用相关性质，学生要注重对双曲线基础知识的掌握，加强训练，熟练运用相关公式和性质；对于综合题，基本思想方法是“几何入手，代数解决”.根据题目给出的条件建立相对应的平面直角坐标系，画出图像，借助图像结合平面几何的知识对题目加以分析，从而找出问题求解的“钥匙”，最终实现对问题的求解.

1依托方程思想与不等式，突破双曲线基础题

双曲线的基本题型主要考查基本概念和几何性质，通常以求标准方程，求未知数的具体数值或取值范围的题目为主.求解方法主要是分析已知条件，结合双曲线的概念性质建立相应的方程组.涉及取值范围的题目则需要借助不等式来求解. 例1双曲线

的一条渐近线方程为y=x，则a=

思路探求:本题考查双曲线的简单几何性质，考查方程思想和学生的运算求解能力，由条件易知得a=5.

，解

方法点睛:这是一道基础题，学生只要把握好双曲线不同标准方程对应的不同渐近线方程，即可正确求解.类似的题目还有2017年高考数学北京卷文科第10题，这类题型主要考查学生对双曲线的基本概念和双曲线基础知识的掌握情况，如a，b，c之间的关系、离心率、渐近线等. 例2已知方程A．

B．

表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )

C．

D．

思路探求:本题主要考查双曲线的简单几何性质及求解不等式，考查学生的运算求解能力. 解法1:根据双曲线的标准方程的概念，由由已知条件和双曲线的定义可知范围是(－1，3).

解法2:同解法1有m2=1.所以双曲线的方程变为

，根据双曲线的定义，则

或

可得

，从而－m2

，解得m2=1所以1

，由此解得n的取值范围是.

方法点睛:本题求双曲线方程中未知数的取值范围，需要注意双曲线的焦距是2c而不是c，这点容易出错.学生容易根据焦距求出m2=1，但是如何根据m2=1找出n的不等关系，则体现学生对双曲线定义的理解和把握.

2从“几何人手，代数解决”，突破双曲线高考综合题

双曲线的综合题主要分为两种，一种是双曲线和椭圆或抛物线的综合题，一种是双曲线和平面几何的有关知识、函数、向量或不等式相结合的综合题.求解双曲线的综合题的中心思想就是“几何入手，代数解决”，大致分为三步:一是根据已知条件建立平面直角坐标系画出图像，使问题变得直观、清晰；二是“以形助数”，分析图像蕴含的几何信息，得出结论与条件之间的数量关系；三是“以数解形”，根据分析的结果运用代数的方法列式解题. 例3已知双曲线

的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C

的一条渐近线交于M，N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为

思路探求:本题主要考查双曲线与圆的性质，数形结合、化归转化思想和运算求解能力.如图所示，可作AP⊥MN，点A的坐标为(a，0)，AM=AN=b，而AP⊥AM，所以∠PAN=30°，根据距离公式，点A(a，0)到渐近线

的距离为

在Rt△PAN中，所以

，代入计算可得a2=3b2，即，由a，b，c的关系可得c=2b，

方法点睛:本题是求双曲线的离心率，中等难度.双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题受到出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下几点:①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是b；③双曲线的顶点到渐近线的距离是，与此同时，要结合图形适当加以转化，方能顺利解决问题.

例4已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( ) A．

B．2

C．

D．

思路探求:本题主要考查双曲线标准方程和简单几何性质、解直角三角形，考查学生的几何思想.设双曲线方程为如图所示，故点M的坐标为

，∠ABM=120°，过点M作MN⊥x轴，垂足为N.在Rt△BMN中，|BN|=a，|MN|=

，代入双曲线方程得a2=b2.又c2=b2+a2，即

，所以

，故选D.

a，

方法点睛:本题求双曲线的离心率，属于中档题，正确表示点M的坐标，利用“点在双曲线上”列方程是解题关键.诸如此类题目的求解思路大多由几何入手，加以分析，最后用代数方法求解. 3借助化归与转化，巧解双曲线高考综合题

对部分双曲线高考综合题，经常要结合题目所给的条件加以化归转化求解.如双曲线的交点问题，可借助已知条件转化为一元二次方程，依托根与系数的关系(韦达定理)使得问题得以解决. 例5在平面直角坐标系中，双曲线

B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A， .

思路探求:本题主要考查双曲线与抛物线的简单几何性质，考查化归与转化、方程思想和学生的运算求解能

力.根据抛物线的性质可知:|AF|+|BF|=，化简可以得到.因为双曲

线的右支与抛物线交于A，B两点，所以由可得，所以

，整理得.所以渐近线的方程为.

，

方法点睛:本题求双曲线的渐近线方程，难度中等.结合抛物线的定义将|AF|+|BF|=4|OF|转化为同时根据条件联立方程

得出关于y的一元二次方程

.由韦达定理得出

p，从而解得a，b之间的关系，进而求出双曲线的渐近线方程.由此可见，结合题目条件恰

当进行化归转化，在解决此类双曲线综合题时往往会收到意想不到的惊喜. 4备考建议

4.1重视基础，强化画图、计算能力

在复习过程中，要重视学生对双曲线的基本概念、性质的理解，如a，b，c的关系，双曲线的离心率和渐近线等；强化学生的作图能力，即强化文字语言，符号语言与图形语言之间的“互译”能力，这是解题的基础；加强学生的运算能力，尽可能减少运算上的失误.

4.2重视思想方法的渗透，强化分析问题、解决问题的能力

在复习的过程中要注重渗透数形结合、方程思想、化归与转化等思想方法，“思想引领”是正确解题的指明灯.以高考真题为解题训练的主要素材，把训练重点放在数学思想方法的提炼上，不断强化学生分析问题、解决问题的能力.