2018-2019学年浙江省绍兴市诸暨市八年级(下)期末数学试卷

股定理可求OE的长，即可求点E坐标；

（2）①连接BO交AC于点H，由旋转的性质可得DE＝AB＝OC，OE＝BO，OD＝OA，∠ABO＝∠DEO，∠EDO＝∠BAO＝90°，∠BOA＝∠EOD，可得∠ACO＝∠DEO，由“AAS”可证△ECD≌△ODC；

②通过证明点B，点E关于OC对称，可求点E坐标；

（3）分两种情况讨论，由面积法可求OM＝MN，由勾股定理可求x的值，即可求点N坐标．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形 ∴OA＝BC＝8，OC＝AB＝10，∠OCB＝90°

∵将矩形OABC绕点O逆时针方向旋转α（0＜α＜180°）得到矩形ODEF． ∴OF＝OC＝10，EF＝BC＝8，∠F＝∠OCB＝90° ∴OE=√????2+????2=√100+64=2√41 ∴点E（0，2√41）

（2）①如图，连接BO交AC于点H，

∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝OB，AH＝OH，

∴∠OAH＝∠AOH，且∠BAO＝∠COA＝90°， ∴∠ABO＝∠ACO，

∵将矩形OABC绕点O逆时针方向旋转α（0＜α＜180°）得到矩形ODEF．

∴DE＝AB＝OC，OE＝BO，OD＝OA，∠ABO＝∠DEO，∠EDO＝∠BAO＝90°，∠BOA＝∠EOD， ∴∠ACO＝∠DEO， ∵OA＝OD，HA＝HO，

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∴∠BOA＝∠DAO，∠DAO＝∠ODA， ∴∠BOA＝∠ODA＝∠EOD， ∴EO∥AC，

∴∠CDE＝∠OED＝∠OCD，且DE＝OC，∠DEC＝∠COD ∴△ECD≌△ODC（AAS） ②∵△ECD≌△ODC ∴EC＝OD＝OA＝BC＝8， ∵∠ECO＝90°

∴∠ECO+∠BCO＝180° ∴点E，点C，点B共线 ∵EC＝BC，OC⊥BC

∴点B，点E关于OC对称，且B（8，10） ∴点E（﹣8，10）

（3）如图，当点M在点B右侧，连接ON，过点N作NG⊥OD于G，

∵BM=2BN，

∴设BM＝x，则BN＝2x，MN＝3x， ∵NG⊥OD，∠FED＝∠EDO＝90° ∴四边形NEDG是矩形 ∴NG＝DE＝10＝AB＝CO

∵S△OMN=2×MN×OC=2×OM×NG ∴OM＝MN＝3x， ∵OC2+CM2＝OM2， ∴100+（x+8）2＝9x2，

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1

11

∴x=

2+√86 （负值舍去） 2∴BN＝2+√86 ∴NC＝BN﹣BC=√86?6， ∴点N（6?√86，10）

如图，若点M在点B左侧，连接ON，过点N作NG⊥OD于G，

∵BM=BN，

∴设BM＝x，则BN＝2x，MN＝x， ∵NG⊥OD，∠FED＝∠EDO＝90° ∴四边形NEDG是矩形 ∴NG＝DE＝10＝AB＝CO

∵S△OMN=2×MN×OC=2×OM×NG ∴OM＝MN＝x， ∵OC2+CM2＝OM2， ∴100+（x﹣8）2＝x2， ∴x=4 ∴BN＝2×4=2 ∴NC＝BN﹣BC=2 ∴点N（?2，10）

综上所述：点N（6?√86，10），（?2，10）

1

211

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4141

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