专题四 创新作图
类型一 与三角形有关
(2019·江西)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为AB的中点．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留画图痕迹)． (1)在图①中，画出△ABD的BD边上的中线；
(2)在图②中，若BA＝BD，画出△ABD的AD边上的高． 【分析】
(1)要画出BD边上的中线，关键是找到BD的中点，由E是AB的中点，想到利用三角形中位线定理可得BD的中点，即想到连接EC，而已知AB∥CD，从而只需证明四边形AECD是平行四边形即可，利用AB＝2CD＝2AE可得证； (2)要画出AD边上的高，结合AB＝BD可知要作AD边上的中线，而三角形的三条中线交于同一点，可知只需找到△ABD中边AB和边BD上的中线即可． 【自主解答】
解：(1)如解图①所示，AF即为所求； (2)如解图②所示，BH即为所求．
【解法提示】 (1)如解图①，连接CE交BD于点F.∵点E是AB的中点，∴AE＝BE.∵AB＝2CD，∴AE＝CD.∵AB∥CD，∴AE∥CD，且AE＝CD，∴四边形AECD是平行四边形，∴EC∥AD.∵点E是AB的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴BF＝DF，∴AF是△ABD的中线．
(2)如解图②，连接CE交BD于点F，连接AF，由(1)知BF＝DF，连接DE交AF于点G.∵AE＝BE，∴点G是△ABD三条中线的交点．连接BG并延长交AD于点H，则BH是△ABD的边AD上的中线，∵BA＝BD，∴BH⊥AD.
【难点突破】 找到三角形中三条中线的交点G是本题的难点，但只要能证明四
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边形AECD是平行四边形，从而可得BD边上的中点F即可．
解决与三角形有关的创新作图问题时，一定要注意三角形的基本性质，如三条高线、三条中线、三条角平分线交于一点；三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半；三角形的中线平分三角形面积等．由于创新作图题只要求用无刻度的直尺作图，因此找点很重要，而一般情况下，所找的点都是与三角形三边有关的特殊点，如边的中点；三角形内心、重心、垂心等． 1．(2019·江西样卷)如图，已知在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝90°，将△ABC绕点B顺时针旋转150°，得到△DBE.请仅用无刻度的直尺，按要求画图(保留画图痕迹，在图中标出字母，并在图下方表示出所画图形)． (1)在图①中，画一个等边三角形； (2)在图②中，画一个等腰直角三角形．
图① 图② 第1题图
2．(2019·江西样卷)如图甲，在两平行线l1，l2上各任取两个点A、C与B、D，则有S△ABD＝S△CBD.请选用这条性质仅使用无刻度的直尺在下列网格图上解决下面问题：图①，②的网格是由若干块单位正方形构成的，其中A、B、C、E均为格点．
如图①，过点C作直线把△ABC分成面积相等的两部分； 如图②，过点E作直线把△ABC分成面积相等的两部分．
3．(2019·吉安十校联考)如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD⊥BC于点D. (1)如图①，点P为AB上任意一点，请你用无刻度的直尺在AC上找出一点P′，使得AP＝AP′；
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(2)如图②，点P为BD上任意一点，请你用无刻度的直尺在CD上找出一点P′，使得BP＝CP′.
4．(2019·原创)如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE相交于点O，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．(保留作图痕迹，不写作法)
(1)在图①中作线段BC的中点P；
(2)在图②中，在OB，OC上分别取点M，N，使MN∥BC. 类型二 与多边形有关
(2019·江西模拟)如下图，已知正七边形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图：
(1)在图①中，画出一个以AB为对角线的菱形；
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(2)在图②中，画出一个以AB为对角线的菱形．
【分析】 要画出以AB为对角线的菱形，可考虑菱形的性质：对角线互相垂直平分，从而找到一条能够垂直平分AB的线，即只需确定两个到线段AB的距离相等的点即可．
【自主解答】 (1)如解图①所示，菱形ACBD即为所求； (2)如解图②所示，菱形ACBD即为所求．
【难点突破】 本题要求画出一个以已知线段为对角线的菱形，难点在于确定菱形的另一条对角线，而菱形对角线互相垂直平分，即找出线段AB的垂直平分线是解决本题的难点．考虑到线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等是解决本题的关键所在．
解决与正多边形有关的创新作图问题时，一定要熟记正多边形的基本性质和判定：可从边、角、对角线三个方面理解和区分平行四边形、矩形、菱形、
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正方形的性质和判定；在中考中也常利用正多边形的对称性进行作图：①正奇边形(比如正七边形)中的平行线段、相等线段．②正偶边形(比如正六边形)中的平行线段、相等线段．
1．(2019·江西原创卷)如图，已知四边形ABCD是正方形且△CDE是等边三角形，请你仅用无刻度的直尺按要求完成下列画图． (1)在图①中，画出CD边的中点； (2)在图②中，作出∠EDA的平分线．
2．(2019·遂川模拟)如图，在四边形ABDC中，AB＝AC，BD＝DC，BE∥DC.请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．
(1)在图①中，画出一个以AB为边的直角三角形； (2)在图②中，画一个菱形．
3．(2019·原创)已知四边形ABCD是矩形，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图①和图②中作图．
(1)如图①，P为CD的中点，作出AB的垂线，垂足为Q；
(2)如图②，在矩形ABCD中，以对角线AC为一边构造一个矩形CAEF，使得另一边EF过原矩形的顶点B，找到EF的中点M.
4．(2019·原创)如图，已知多边形ABCDEF中，AB＝AF，DC＝DE，BC＝EF，∠ABC＝∠BCD.请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． (1)在图①中，画出一个以BC为边的矩形；
1
(2)在图②中，若多边形ABCDEF是正六边形，试在AF上画出点M，使得AM＝
4AF.
5．(2019·原创)在正方形ABCD中，点E是BC边上任意一点，请你仅用无刻度
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的直尺，分别按要求作图．
(1)如图①，在AB边上求作一点F，连接CF，使得CF＝AE； (2)如图②，在AD边上求作一点G，连接CG，使得CG∥AE. 类型三 与圆有关
(2019·江西)⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图①，图②中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分(保留作图痕迹，不写作法)． (1)如图①，AC＝BC；
(2)如图②，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC.
【分析】 要找到一条弦将△ABC分成面积相等的两部分，需想到“三角形的中线平分三角形面积”的性质，从而找到边的中点是关键．(1)根据条件AC＝BC，不难想到连接OC，根据垂径定理可确定边AB的中点，即可求得；(2)根据直线l与⊙O相切于点P，根据垂径定理想到连接PO并延长与BC交于点E，再由于直线l∥BC可得点E即为边BC的中点，从而连接AE并延长与⊙O交于点F即可．
【自主解答】 (1)如解图①，弦CD即为所求； (2)如解图②，弦AF即为所求．
︵︵︵
【解法提示】 (1)∵AC＝BC，∴AC＝BC，∴点C是AB的中点，连接CO交AB于点E，由垂径定理知，点E是AB的中点，延长CO交⊙O于点D，则CD即为所求作的弦；(2)∵l切⊙O于点P，∴连接PO并延长交BC于点E，则PO⊥l.∵l∥BC，∴PE⊥BC，由垂径定理知，点E是BC的中点，连接AE交⊙O于点F，则AF即为所求作的弦．
【难点突破】 要找一条弦将△ABC分成面积相等的两部分，根据“三角形的中
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线平分三角形面积”的性质，找到边的中点是难点．但借助圆中“垂径定理”可快速找到弦BC的中点，从而可得证．
解决与圆有关的创新作图问题时，要熟练应用圆的有关性质： ①要作垂直关系可用直径所对的圆周角是90°；
②要作相等的角可用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； ③要找圆心想到90°的圆周角并连线得直径，找两条直径交点即可； ④作平分线段的点或将三角形分成面积相等的两部分，想到垂径定理，利用等底同高的两个三角形面积相等即可求得．
1．(2019·江西样卷)如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O，请在下面的图中按要求仅用无刻度的直尺作图．
(1)如图①，当∠ADC＝60°时，⊙O与DC相交于点M，过点M作⊙O的切线； (2)如图②，当∠ADC＝90°时，过点C作⊙O的切线(CD除外)．
2．(2019·江西模拟)如图，AB是⊙O的直径，平行四边形ACDE的一边在直径AB上，点E在⊙O上．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． (1)如图①，当点D在⊙O上时，请你在AB上取点P并连接DP，使DP⊥AB于点P；
(2)如图②，当点D在⊙O内时，请你在AB上取点Q并连接EQ，使EQ⊥AB于点Q.
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3．(2019·原创)如图，AB是⊙O的直径，△ABC的三个顶点在同一个圆上，∠C＝90°，点D是AC的中点．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． (1)在图①中，画出∠B的平分线； (2)在图②中，找出BC的中点．
4．(2019·原创)如图，△ABC是⊙O的内接三角形．∠BAC＝45°.请用无刻度的直尺按要求画图．
(1)如图①，请在图①中画出弦CD，使得CD＝BC；
(2)如图②，AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，点A，C，M在同一条直线上．在图中画出△ABM的边BM上的中线AD.
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参考答案
类型一
1．解：(1)如解图①所示，△ABF即为所求； (2)如解图②所示，△DEG即为所求．
2．解：如解图①，过点C作直线把△ABC分成面积相等的两部分，并将该直线与AB边的交点标作D；
如解图②，过点E作直线把△ABC分成面积相等的两部分，并将该直线与BC边的交点标作F.
[来源:]3．解：(1)作图如解图①所示，点P′即为所求；
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(2)作图如解图②所示，点P′即为所求； 4．解：(1)如解图①所示，点P即为所求； (2)如解图②所示，MN即为所求．
[来源:ZXXK]类型二
1．解：(1)如解图①所示，直线EF与DC的交点O即为所求； (2)如解图②所示，射线DF即为所求． 2．解：(1)如解图①所示，△AOB即为所求； (2)如解图②所示，四边形BFCD即为所求． 3．解：(1)如解图①所示，PQ即为所求； (2)如解图②所示，点M即为所求．
4．解：(1)如解图①所示，四边形BCEF即为所求； (2)如解图②所示，点M即为所求． 5．解：(1)如解图①所示，点F即为所求； (2)如解图②所示，点G即为所求． 类型三
1．解：(1)如解图①，ME即为所求； (2)如解图②，CF即为所求． 2．解：(1)如解图①，DP即为所求； (2)如解图②，EQ即为所求．
3．解：(1)如解图①，射线BF即为所求； (2)如解图②，点E即为所求．
4．解：(1)如解图①所示，弦CD即为所求； (2)如解图②所示，AD即为所求．
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