高中数学新题型选编（共70个题）（一）

七彩教育网 http://www.7caiedu.cn

本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn 高中数学新题型选编（共70个题）（一） 1、（Ⅰ）已知函数：

a?bnnf(x)?2a?b2n?1(x?a)?(x?a),(x?[0,??),n?N)nn?求函数f(x)的最小值;

（Ⅱ）证明:

2?()n(a?0,b?0,n?N)?；www.7caiedu.cn

nna1?a2?a3???aknn（Ⅲ）定理:若a1,a2,a3?ak 均为正数,则有(其中

k?2,k?N,k为常数)?k?(a1?a2?a3???akk)n 成立

．请你构造一个函数g(x)，证明：

a1?a2?a3???ak?1nnnn当a1,a2,a3,?,ak,ak?1均为正数时，解：（Ⅰ）令

f'(x)?2n?1k?1?(a1?a2?a3???ak?1k?1)n …2分

nxn?1?n(a?x)n?1?0得

(2x)n?1?(a?x)n?1?2x?a?x?x?a当0?x?a时，2x?x?a ?f'(x)?0 故f(x)在[0,a]上递减．

当x?a,f'(x)?0故f(x)在(a,??)上递增．所以，当x?a时，f(x)的最小值为f(a)?0.….4分 （Ⅱ）由b?0，有f(b)?f(a)?0 即f(b)?2a?bnnn?1(a?b)?(a?b)?0nnn

故

2?(a?b2)n(a?0,b?0,n?N)?．………………………………………5分

a1?a2?a3???ak?1nnnn（Ⅲ）证明:要证： 只要证： 设则

(k?1)n?1nnk?1nn?(a1?a2?a3???ak?1k?1n)n

(a1?a2?a3???ak?1)?(a1?a2?a3???ak?1)(a1?a2?a3???x)?(a1?a2?a3???x)n?1nnnnng(x)?(k?1)n?1…………………7分

g'(x)?(k?1)n?1?nx?n(a1?a2???ak?x)n?1

令g'(x)?0得

x?a1?a2???akk…………………………………………………….8分

a1?a2???ak当0?x?k时，

n?1g'(x)?n[(kx?x]n?1?n(a1?a2???ak?x)n?1n?1

?n(a1?a2???ak?x)?n(a1?a2???ak?x)?0

七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载

七彩教育网 http://www.7caiedu.cn

故

g(x)在[0,a1?a2???akk]上递减，类似地可证

g(g(x)在(a1?a2???akk,??)递增

所以

当x?a1?a2???akk时，g(x)a1?a2???akk的最小值为

n)………………10分

a1?a2???akk)n而

g(a1?a2???akkn?1)?(k?1)[a1?a2???ak?(n?1nna1?a2???akk)]?(a1?a2???ak?n

(k?1)=

kn[k(a1?a2???ak)?(a1?a2???ak)?(k?1)(a1?a2???ak)]nnnnnn

n(k?1)n?1=

kn[k(a?a???a)?k(a1?a2???ak)]nn1n2nkn(k?1)n?1=kn?1[kn?1(a1?a2???ak)?(a1?a2???ak)]nnn

由定理知:

kn?1(a?a???a)?(a1?a2???ak)a1?a2???akknn1n2nkn?0g(a1?a2???akk)?0 故

?ak?1?[0,??)?g(ak?1)?g()?0

n故

(k?1)nn?1(a1?a2?a3???ak?1)?(a1?a2?a3???ak?1)nnnnn

a1?a2?a3???ak?1n即:

k?1?(a?a?a???ak1?123k?1)n.…………………………..14分

2、用类比推理的方法填表 等差数列a3＝a2?d?an?中 等比数列?bn?中 5b3?b2?qa3?a4?a2?a5b3?b4?b2?b5a1?a2?a3?a4?a5?5a3 答案：

b1?b2?b3?b4?b5?b3

3、10．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质： （i）1*1=1，（ii）（n+1）*1=n*1+1，则n*1等于

A．n B．n+1 C．n -1 D．n 答案：D

2七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载

七彩教育网 http://www.7caiedu.cn

24、若f(n)为n?1(n?N*)的各位数字之和，如：14?1?197，1?9?7?17，则

2f(14)?17;记f1(n)?f(n),f2(n)?f(f1(n)),?,fk?1(n)?f(fk(n)),k?N*,则f2008(8)?____

答案：5

5、下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD的侧面与底面。

a a a a a a a

a a

a 2a2a

（1）请画出四棱锥S-ABCD的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由；

（2）若SA?面ABCD，E为AB中点，求二面角E-SC-D的大小； （3）求点D到面SEC的距离。

（1）存在一条侧棱垂直于底面（如图）??????3分

证明：?SA?AB,SA?AD,且AB、AD是面ABCD内的交线?SA?底面

S ABCD????????5分

（2）分别取SC、SD的中点G、F，连GE、GF、FA， 则GF//EA,GF=EA,?AF//EG

F 而由SA?面ABCD得SA?CD，

G 又AD?CD，?CD?面SAD，?CD?AF

A 又SA=AD,F是中点，?AF?SD

?AF?面SCD,EG?面SCD,?面SEC?面SCD 所以二面角E-SC-D的大小为90????10分

(3)作DH?SC于H，

? 面SEC?面SCD,?DH?面SEC, ?DH之长即为点D到面SEC的距离，12分

DH?SD?DC?SC2a?a3a?6a3?D H C E B

?在Rt?SCD中，

七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载

七彩教育网 http://www.7caiedu.cn

6a3答：点D到面SEC的距离为?????????14分

6、一个计算装置有一个入口A和一输出运算结果的出口B，将自然数列数依次输入A口，从B口得到输出的数列

a1?13；②当n?2时，从A口输入n，从B口得到的结果an是将前一结果an?1先乘

?n?(n?1)中的各

?1时，从B

?an?，结果表明：①从A口输入n口得

以自然数列

?n?中的第n?1个奇数，再除以自然数列?an?中的第n?1个奇数。试问：

从A口输入2和3时，从B口分别得到什么数？ 从A口输入100时，从B口得到什么数？并说明理由。

a2?a1?1?5?115

a3?a2?3?7?135

*解（1）

an?1(2n?1)(2n?1)139999

(n?N) （2）先用累乖法得a100?1

得

(2?100?1)(2?100?1)?7、在△ABC中，B(?2,0),C(2,0),A(x,y)，给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：

条件 ①△ABC周长为10 ②△ABC面积为10 方程 C1C2：：y2?252 ?4(y?0)x?y2 ③△ABC中，∠A=90° xC32：9?y25?1(y?0) C1则满足条件①、②、③的轨迹方程分别为 （用代号答案：

C3C1C2、

C2、

C3填入）

七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载