③f（x）的图像关于直线x=④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③ 【解析】 【分析】
利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取???x?0可判断命题④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①，f??对称． 2515???1?????2?f????2??，，则???222?6?2?6???????f????f??， ?6??6?所以，函数f?x?的图象不关于y轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数f?x?的定义域为xx?k?,k?Z，定义域关于原点对称，
??f??x??sin??x??111????sinx????sinx????f?x?，
sin??x?sinxsinx??所以，函数f?x?的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，
11??????f??x??sin??x???cosx?cosx， ?2??2?sin???x????2???????f??x??f??x?， ?2??2?11??????f??x??sin??x???cosx?cosx，则?2??2?sin???x????2?所以，函数f?x?的图象关于直线x?
?2
对称，命题③正确；
对于命题④，当???x?0时，sinx?0，则f?x??sinx?命题④错误. 故答案为：②③.
1?0?2， sinx【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.
17.设数列{an}满足a1=3，an?1?3an?4n．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明； （2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
n?1【答案】（1）a2?5，a3?7，an?2n?1，证明见解析；（2）Sn?(2n?1)?2?2.
【解析】 【分析】
（1）利用递推公式得出a2,a3，猜想得出?an?的通项公式，利用数学归纳法证明即可； （2）由错位相减法求解即可.
【详解】（1）由题意可得a2?3a1?4?9?4?5，a3?3a2?8?15?8?7，
由数列?an?的前三项可猜想数列?an?是以3为首项，2为公差的等差数列，即an?2n?1， 证明如下：
当n?1时，a1?3成立； 假设n?k时，ak?2k?1成立.
那么n?k?1时，ak?1?3ak?4k?3(2k?1)?4k?2k?3?2(k?1)?1也成立. 则对任意的n?N*，都有an?2n?1成立； （2）由（1）可知，an?2?(2n?1)?2
nnSn?3?2?5?22?7?23?2Sn?3?22?5?23?7?24??(2n?1)?2n?1?(2n?1)?2n，① ?(2n?1)?2n?(2n?1)?2n?1，②
3由①?②得：?Sn?6?2?2?2??2?2n??(2n?1)?2n?1
n?1?6?2?22??1?2n?1?1?2n?1?(2n?1)?2n?1?(1?2n)?2?2，
即Sn?(2n?1)?2?2.
【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.
18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次 [0，200] 空气质量等级 1（优） 2（良） 3（轻度污染） 4（中度污染）
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 空气质量好 空气质量不好
人次≤400 人次>400 2 5 6 7 16 10 7 2 25 12 8 0 (200，400] (400，600] n(ad?bc)2附：K?，
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2P(K2≥k) k
0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；（2）（3）有，理由见解析. 350；【解析】 【分析】
（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率；
（2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；
（3）根据表格中的数据完善2?2列联表，计算出K2的观测值，再结合临界值表可得结论. 【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为
2?16?25?0.43，等级为2的
100概率为
5?10?126?7?87?2?0?0.27，等级为3的概率为?0.21，等级为4的概率为?0.09；
100100100100?20?300?35?500?45?350
100（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为（3）2?2列联表如下： 空气质量不好 空气质量好
人次?400 人次?400 33 22 37 8 100??33?8?37?22?K2??5.820?3.841，
55?45?70?30因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.
19.如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，点E,F分别在棱DD1,BB1上，且2DE?ED1，BF?2FB1．
2
（1）证明：点C1在平面AEF内；
（2）若AB?2，AD?1，AA1?3，求二面角A?EF?A1的正弦值．
42. 7【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】 【分析】
（1）连接C1E、C1F，证明出四边形AEC1F为平行四边形，进而可证得点C1在平面AEF内； （2）以点C1为坐标原点，C1D1、C1B1、C1C所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系C1?xyz，利用空间向量法可计算出二面角A?EF?A1【详解】（1）在棱CC1上取点G，使得C1G?余弦值，进而可求得二面角A?EF?A1的正弦值.
1CG，连接DG、FG、C1E、C1F， 2
在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AD//BC且AD?BC，BB1//CC1且BB1?CC1，
122C1G?CG，BF?2FB1，?CG?CC1?BB1?BF且CG?BF，
233所以，四边形BCGF为平行四边形，则AF//DG且AF?DG， 同理可证四边形DEC1G为平行四边形，?C1E//DG且C1E?DG，
的?C1E//AF且C1E?AF，则四边形AEC1F为平行四边形，
因此，点C1在平面AEF内；
（2）以点C1为坐标原点，C1D1、C1B1、C1C所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系C1?xyz，
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