数学史选讲
内容与要求
通过生动、丰富的事例，了解数学发展过程中若干重要事件、重要人物与重要成果，初步了解数学产生与发展的过程，体会数学对人类文明发展的作用，提高学习数学的兴趣，加深对数学的理解，感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神。 完成一个学习总结报告。对数学发展的历史轨迹、自己感兴趣的历史事件与人物，写出自己的研究报告。
本专题由若干个选题组成，内容应反映数学发展的不同时代的特点，要讲史实，更重要的是通过史实介绍数学的思想方法，选题的个数以不少于6个为宜。以下专题可供选择。 1. 早期算术与几何——计数与测量 ◆纸草书中记录的数学（古代埃及）。 ◆泥板书中记录的数学（两河流域）。 ◆中国《周髀算经》、勾股定理（赵爽的图）。 ◆十进位值制的发展。 2. 古希腊数学
◆毕达哥拉斯多边形数，从勾股定理到勾股数，不可公度问题。 ◆欧几里得与《几何原本》，演绎逻辑系统，第五公设问题，尺规作图，公理化思想对近代科学的深远影响。 ◆阿基米德的工作：求积法。 3. 中国古代数学瑰宝
◆《九章算术》中的数学（方程术、加减消元法、正负数）。 ◆大衍求一术（孙子定理）。 ◆中国古代数学家介绍。
4. 平面解析几何的产生——数与形的结合 ◆函数与曲线。
◆笛卡儿方法论的意义。
5. 微积分的产生——划时代的成就 6. 近代数学两巨星——欧拉与高斯 ◆欧拉的数学直觉。
◆高斯时代的特点（数学严密化）。 7. 千古谜题——伽罗瓦的解答
◆从阿贝尔到伽罗瓦（一个中学生数学家）。 ◆几何作图三大难题。 ◆近世代数的产生。
8. 康托的集合论——对无限的思考 ◆无限集合与势。
◆罗素悖论与数学基础（哥德尔不完备定理）。
9. 随机思想的发展 ◆概率论溯源。
◆近代统计学的缘起。 10. 算法思想的历程 ◆算法的历史背景。 ◆计算机科学中的算法。 11. 中国现代数学的发展
◆现代中国数学家奋发拼搏，赶超世界数学先进水平的光辉历程。
说明与建议
1. 本专题不必追求数学发展历史的系统性和完整性，通过学生生动活泼的语言与喜闻乐见的事例呈现内容，使学生体会数学的重要思想和发展轨迹。本专题的内容安排可以采取多种形式，既可以由古到今，追寻数学发展的历史；也可以从现实的、学生熟悉的数学问题出发，追根溯源，回眸数学发展中的重要事件和人物。例如，可以从“我们现在有多少种记数方法”出发，追溯历史上的记数法（巴比伦的60进制、英国的12进制、计算机的二进制以及10进制，二进制与中国的八卦）。又如，可以从学生熟悉的π入手，漫谈祖冲之的成果，用随机数方法计算π，介绍古希腊和中国古代如何对待无理数、目前计算机可以算π到小数点后多少位等问题。
2. 以上所提供的内容仅仅是一种选择，本专题内容的安排可以根据具体情况，作适当调整。内容应突出所蕴涵的思想性，突出数学发展的轨迹，突出数学家刻苦钻研的科学精神。内容的选择要符合学生的接受水平，呈现方式应图文并茂、丰富多彩，引起学生的兴趣。
3. 教学方式应灵活多样，可采取讲故事、讨论交流、查阅资料、撰写报告等方式进行。教师应鼓励学生对数学发展的历史轨迹。自己感兴趣的历史事件与人物，写出自己的研究报告。
信息安全与密码
数论和代数在现代信息理论、信息安全中有许多重要的应用。本专题将介绍和学习初等数论的某些知识（如整除与同余），以及数论在现代信息安全中的某些重要应用，使学生了解数学在信息科学中的应用，提高对数学的鉴赏力和学习数学的兴趣。
内容与要求
1. 初等数论的有关知识
（1）了解整除和同余，模m的完全同余系和简化剩余系，欧拉定理和费马小定理，大数分解问题。
（2）了解欧拉函数的定义和计算公式，威尔逊定理及在素数判别中的应用，原根与指数，模p的原根存在性，离散对数问题。
2. 数论在信息安全中的应用
（1）了解通讯安全中的有关概念（如明文、密文、密钥）和通讯安全中的基本问题（如保密、数字签名、密钥管理、分配和共享）。
（2）了解古典密码的一个例子：流密码（利用模m同余方式）。 （3）理解公钥体制（单向函数概念），以及加密和数字签名的方法（基于大数分解的RSA方案）。 （4）理解离散对数在密钥交换和分配中的应用——棣弗－赫尔曼（Diffi-Hellman）方案。 （5）理解离散对数在加密和数字签名中的应用——盖莫尔（ElGamal）算法。 （6）了解拉格朗日插值公式在密钥共享中的应用。 3. 完成一个学习总结报告 报告应包括两方面的内容：（1）知识的总结。对信息安全有关内容的理解和认识，体会数学（数论和代数学）在信息安全中的作用。（2）拓展。通过查阅课外资料，对某些内容和应用进行进一步探讨和思考。
说明与建议
1. 本专题的教材编写与教学应力求深入浅出。教学时，教师应注意介绍相关内容（如通信技术的发展等）的历史与背景，帮助学生理解信息安全中需要解决的问题以及如何利用公钥体制解决这些问题，体会大数分解和离散对数等思想方法在现代信息安全中所起的作用。
2. 在条件允许的情况下，教师应引导学生利用计算机对下列问题进行思考，编制程序、上机实验。 （1）用辗转相除计算最大公约数； （2）解同余方程ax?b(modm)；
（3）判断大整数是否为素数（用Wilson定理）； （4）大数分解。
球面上的几何
我们生活在地球上，地球表面十分接近于一个球面。因此，在实际生活中，球面上的几何（简称球面几何）知识有着广泛的实际应用。例如，大地（天体）测量、航空、卫星定位等方面均需利用球面几何的知识。在理论上，球面几何是一个与欧氏平面几何不同的几何模型，是一个重要非欧几何的数学模型，球面几何在几何学的理论研究方面，具有特殊的作用。 本专题将使学生了解一个新的数学模型——球面几何，初步学习球面几何的一些基本知识及其在实际中的一些应用，通过比较球面几何和欧氏平面几何的差异和联系，感受自然界中存在着丰富多彩的数学模型。类比是学习这个专题所用到的重要的思想方法，空间想像和几何直观能力是学好这个专题的关键。
内容与要求
1. 通过丰富的实际问题（如测量、航空、卫星定位），体会引入球面几何知识的必要性。
2. 通过球面图形与平面图形的比较，感受球面几何与欧氏平面几何的异同。例如，球面上的大圆相当于平面上的直线，球面上两点之间的最短距离是大圆弧的劣弧部分，球幂定理。 3. 通过对实例的分析，体会球面具有类似平面的对称性质。
4. 了解球面上的一些基本图形：大圆、小圆、球面角、球面二角形（月形）、极与赤道、球面三角形、球面三角形的极对
称三角形（简称球极三角形）。
5. 通过球面几何与欧氏平面几何比较，探索欧氏平面图形的哪些性质能推广到球面上，并说明理由，由此理解球面三角形的全等定理s.s.s，s.a.s，a.s.a。
6. 理解单位球面三角形的面积公式（S?A?B?C??），由此体会球面三角形内角和大于180°。 7. 了解球面三角形全等的a.a.a定理。
8. 利用球面三角形面积公式证明欧拉公式，体验球面几何与拓扑学的关系。
9. 利用向量的叉乘（向量积）探索并证明球面余弦定理（cosc?cosacosb?sinasinbcosC）和球面上的勾股定理（即
当
C???sinAsinBsinC???????。 sinasinbsinc2时的球面余弦定理），能从球面的余弦定理推导出球面的正弦定理
10. 体会当球面半径无限增大时，球面接近于平面，球面的三角公式就变成相应的平面三角公式。
11. 初步了解另一种非欧几何模型——庞加莱模型。 12. 完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。对本专题整体结构和内容的理解，说明球面几何与平面几何中哪些公式（定理）是相同的，哪些公式有本质差异；说明为什么相对于半径来说很小的一小片球面可以作为一个平面来对待。（2）通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，进一步思考几何与现实空间的关系。（3）学习球面几何的感受、体会。
说明与建议
1. 本专题的重点是培养学生空间想像和几何直观能力。
2. 教学中应使学生切实地感受利用球面几何知识可以解决（或解释）生活或生产中的一些实际问题。在介绍球面几何时，让学生通过欧氏平面几何和球面几何的类比，得到球面几何的相关结论，促使学生思考平面几何模型与球面几何等非欧几何模型的差异。
3. 介绍球面几何与欧拉公式，主要是为了开拓学生的数学视野，使学生了解一些非欧几何模型，对学生掌握现代数学思想方法有很大帮助。
4. 球面几何涉及到大量的空间图形的对称性（变换），在条件允许的学校，教学中可以充分利用（CAI）多媒体技术。
对 称 与 群
对称是自然界一种十分重要的性质，像轴对称、中心对称。群是刻画对称性的数学概念，群论是现代数学的重要研究对象。
学生将从丰富的平面图形对称变换的实例入手，了解变换群的概念，学习群的表达方法，学会求出一些比较简单的几何图形的对称群，并进一步体会群在研究事物对称性质和研究其他数学对象中的重要作用。
内容与要求
1. 通过丰富的对称图形，感受日常生活和现实世界中存在着大量对称现象。 2. 了解刚体运动的基本性质。
3. 通过分析图形的不同对称性和刚体运动，寻求刻画不同图形对称性的思想，逐步形成图形对称变换的概念。 4. 结合简单的具体图形，找出其所有对称变换。
5. 结合具体的图形实例，逐步形成对称变换合成的概念，理解对称变换合成的封闭性。 6. 结合具体的图形实例，通过操作认识对称变换满足结合律。
7. 结合具体的图形实例，通过操作，理解恒等变换的概念，逆变换的概念及其性质，针对具体的图形能找出一个对称变换的逆变换。
8. 通过具体实例，建立变换群的概念，并初步了解抽象群的概念。
9. 能借助几何直观求出一些几何图形和具有一定对称性的简单化学分子模型的对称群。 10. 通过具体实例，了解一种群的表示方法——乘法表法。
11. 从具体的实例入手，了解一种由较为简单群构造出较为复杂群的方法——直积。 12. 了解群论在现实生活中的重要应用，如晶体分类定理。
13. 考察其他形式的对称变换，如代数式。通过二次、三次方程的求解过程，了解代数方程根的对称群的含义，并了解伽罗瓦利用群论方法解决方程根式解问题的科学史实，感受群论在现代数学中的重大作用。 14. 完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。对本专题整体结构和内容的理解，对对称的数学描述和群的概念的认识。（2）拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，进一步探讨对称在自然界中的广泛性和群对刻画对称的作用。（3）学习本专题的感受、体会。
说明与建议
1. 由于对称变换、变换的合成（乘法）运算等概念是比较抽象的概念，因此学习过程都应从具体的实例和恰当的情境引入，而不能从抽象的定义出发。
2. 对于中学生来说，群是一个全新的学习对象。对称变换群是把对称变换作为一个运算系统来研究，与过去所学习的数与代数式的运算系统有很大的区别。因此本专题只能以比较简单的具体的群为例。教学的重点在于使学生了解群在刻画对称性中的作用，而尽量避免论述群的抽象定义和性质。同时要求学生能通过具体的几何图形的分析，学会求出一些简单几何图形的对称群，在操作实践过程中感受群的含义。
3. 晶体分类与方程的伽罗瓦理论是群论的两项重大应用成果，在本单元不能详细证明晶体分类定理和方程的伽罗瓦定理，但向学生介绍这两项成果可以使学生感受现代数学的研究方法和特点，因此做好这种介绍性工作也是本单元的教学目标之一。
欧拉公式与闭曲面分类
使用变换对几何图形进行分类，是几何学的重要内容，揭示在不同变换下几何图形的不变性质或不变量是研究这类问题的基本思想方法。本专题主要讨论欧拉公式和欧拉示性数等重要的拓扑不变量，并利用它们对曲线、曲面进行分类。
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