内容与要求
1. 复习已学过的变换，并使用它们对平面图形分类
（1）复习平移、旋转、平面运动、反射、全等、位似、伸缩、相似变换，以及对平面图形分类。 （2）在上述变换下，探索什么几何性质是不变的。 （3）体会变换的一些基本特征：1－1对应，连续。 2. 欧拉公式
（1）通过探索发现欧拉公式的过程，理解欧拉公式。 （2）理解欧拉公式的拓扑证明。
（3）使用欧拉公式解决一些问题（如探索正多面体的个数）。 （4）探索非欧拉多面形的面数、棱数、顶点数的关系。 3. 理解曲面三角剖分的概念。
4. 会对一些曲面进行三角剖分，并能计算它们的欧拉示性数。 5. 了解拓扑变换的直观含义。
6. 知道一些拓扑不变量，并能用它们对一些曲线、闭曲面进行分类，了解一些曲线、闭曲面的分类结果。
7. 了解拓扑思想的一些应用（如平面布线问题、一笔画问题、布劳威尔不动点定理与经济稳定点问题、四色问题）。 8. 完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。本专题整体结构和内容的理解，以及对数学变换思想的认识。（2）拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，进一步理解变换的不变量和曲面分类的思想。（3）学习本专题的感受、体会。
说明与建议
1. 这部分内容比较抽象，首先要复习中学阶段学过的几何变换以及分析在这些变换下不变的几何性质，并由此体会变换和变换不变量的思想。
2. 引导学生探索发现欧拉公式的过程，以及对欧拉公式证明的理解，帮助学生体会数学家的创造性工作，这是一个非常好的范例。
3. 三角剖分是研究图形拓扑性质的重要思想方法，引导学生经历对具体曲面使用三角剖分的方法研究其性质的过程，使学生通过操作和实践学习和掌握三角剖分的思想方法。
4. 拓扑变换是一个非常抽象的概念，应该关注学生对拓扑变换形象和直观的理解，例如，把拓扑变换理解为橡皮变换，不要引导学生追求拓扑变换形式化的定义。
5. 在介绍拓扑学应用时，应注重对拓扑思想方法的介绍，不追求严格化的叙述。
三等分角与数域扩充
三等分角问题、倍方问题和化圆为方问题被称为古希腊的三大几何作图问题。解决这类问题的思想方法不仅在数学上，而且在人类的思想史上都具有重大意义。
本专题将通过对三等分角问题的讨论使学生了解解决这类问题的基本思想方法，并能用此方法解决倍方问题和仅用圆规
直尺不能作正七边形的问题。另外还介绍用代数方法讨论正十七边形是可作图的（即可用尺规作图方法作出正十七边形）。通过以上的讨论，使学生体会和理解其中蕴涵的数学思想方法，提高分析和解决数学问题的能力。
内容与要求
1. 了解古希腊三大几何作图问题，通过三等分角问题了解它们的正确提法。在不限于圆规和直尺的前提下，了解三等分角的几种不同作法。
2. 理解解决三等分角问题的基本思路——刻画尺规作图的范围。
3. 给定线段a，b，会用尺规作图方法作出长为
a?b，a?b，ab，ab的线段。
4. 对于给定的任何已知线段，若把它作为单位长，则任一（正）有理数是可作图的（即仅用圆规和直尺可作出该有理数长的线段）。
5. 通过有理数对加、减、乘、除运算的封闭性，了解有理数域和一般数域的概念。 6. 设F是一数域，k?F且k?F。证明：集合的子集合。了解扩域的概念。
7. 给出一些数域、扩域的具体实例。
8. 给定长为a的线段，会用尺规作图方法作出长为a的线段。
9. 学会把三等分角问题代数化。
10. 证明：不能用尺规作图的方法三等分60度角。
11. 用上述方法讨论“倍方问题”或“用圆规和直尺不可能作出正七边形”。 12. 体会解决古希腊三大作图问题的思想方法和它在人们思想认识上的作用。
13. 了解复数乘法的棣莫弗公式，会用代数方法讨论正十七边形是可作图的（即可用尺规作图方法作出正十七边形）。 14. 完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。解决三等分角问题的基本思路，清楚地表述证明的过程。体会和理解其中蕴涵的数学思想方法。（2）拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，进一步体会几何问题代数化的方法和处理几何作图问题的思想。（3）学习本专题的感受、体会。
说明与建议
1. 本专题在思想上和证明的论述上的要求都是比较高的。要求学生学会把握解决问题的整体思路，还要求学生在证明时，层次分明，条理清楚。培养学生表达和论述的能力。
2. 在教学过程中，教师应该引导学生对某些问题进行探索。
3. 通过本专题的学习，让学生认识到数学的作用不限于解决问题，在形成人类正确的思想方法和世界观方面数学同样发挥着重要的作用。
?a?bk，a,b?F?也是一个数域，且F是集合?a?bk，a,b?F?
系列4 几何证明选讲
几何证明选讲有助于培养学生的逻辑推理能力，在几何证明的过程中，不仅是逻辑演绎的程序，它还包含着大量的观察、探索、发现的创造性过程。本专题从复习相似图形的性质入手，证明一些反映圆与直线关系的重要定理，并通过对圆锥曲线性质的进一步探索，提高学生空间想像能力、几何直观能力和运用综合几何方法解决问题的能力。
内容与要求
1. 复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理，证明直角三角形射影定理。 2. 证明圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理。
3. 证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。
4. 了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系，体会平行投影；证明平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）。 5. 通过观察平面截圆锥面的情境，体会下面定理：
定理 在空间中，取直线l为轴，直线l'与l相交于O点，其夹角为α，l'围绕l旋转得到以O为顶点，l'为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β（π与l平行，记住β＝0），则： （1）β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆； （2）β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；
（3）β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线。
6. 利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥均相切）证明上述定理（1）情况。
7. 试证明以下结果：①在6中，一个Dandelin球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行，记这个圆所在平面为π'；②如果平面π与平面π'的交线为m，在5（1）中椭圆上任取一点A，该Dandelin球与平面π的切点为F，则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是小于1的常数e。（称点F为这个椭圆的焦点，直线m为椭圆的准线，常数e为离心率。） 8. 探索定理中（3）的证明，体会当β无限接近α时平面π的极限结果。 9. 完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。对本专题整体结构和内容的理解，对数学证明的认识。（2）拓展。通过查阅资料、独立思考，对某些内容和应用进行进一步探讨。（3）学习本专题的感受、体会。
说明与建议
本专题的编写与教学，都应力求深入浅出。对内容与要求6、7的两个命题证明过程中，蕴涵着丰富的数学思想方法，它们有助于学生体会空间想像能力和几何直观能力在解决问题中的作用，有助于提高学生综合运用几何知识解决问题的能力。教学时，教师应鼓励学生独立思考，主动尝试、探索，必要时要给予适当的指导，并应鼓励学生写出课题报告，尽可能清晰地表达自己的思考过程与论证过程。 在条件允许的学校，教师可以利用现代计算机技术，动态地展现Dandelin两球的方法，帮助学生利用几何直观进行思维。
矩阵与变换
矩阵是研究图形（向量）变换的基本工具，有着广泛的应用，许多数学模型都可以用矩阵来表示。
本专题将通过平面图形的变换讨论二阶方阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量等概念，并以变换和映射的观点理解解线性方程组的意义，初步展示矩阵应用的广泛性。
内容与要求 1. 引入二阶矩阵
2. 二阶矩阵与平面向量（列向量）的乘法、平面图形的变换 （1）以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义。 （2）证明矩阵变换把平面上的直线变成直线（或点），即证明
A??1???2????1A???2A?
（3）通过大量具体的矩阵对平面上给定图形（如正方形）的变换，认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。
3. 变换的复合——二阶方阵的乘法
（1）通过变换的实例，了解矩阵与矩阵的乘法的意义。
（2）通过具体的几何图形变换，说明矩阵乘法不满足交换律。 （3）验证二阶方阵乘法满足结合律。
（4）通过具体的几何图形变换，说明乘法不满足消去律。 4. 逆矩阵与二阶行列式
（1）通过具体图形变换，理解逆矩阵的意义；通过具体的投影变换，说明逆矩阵可能不存在。
?1AB?B?1A?1等简单性质，并了解其在变换中的意义。 ?? （2）会证明逆矩阵的唯一性和
（3）了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵。
5. 二阶矩阵与二元一次方程组
（1）能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义。 （2）会用系数矩阵的逆矩阵解方程组。
（3）会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性，唯一性。 6. 变换的不变量
（1）掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义。 （2）会求二阶方阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）。 7. 矩阵的应用
n （1）利用矩阵A的特征值、特征向量给出A?简单的表示，并能用它来解决问题。
（2）初步了解三阶或高阶矩阵。 （3）了解矩阵的应用。
8. 完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。理解本专题的整体思路、结构和内容，进一步认识变换的思想。（2）拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，对矩阵变换及其应用做进一步探讨。（3）学习本专题的感受、体会。
说明与建议
1. 本专题只对具体的二阶方阵加以讨论，而不讨论一般m×n阶矩阵以及（
aij）形式的表示。
2. 矩阵的引入要从具体的实例开始，通过具体的实例让学生认识到，某些几何变换可以用矩阵来表示，丰富学生对矩阵几何意义的理解，并引导学生用映射的观点来认识矩阵、解线性方程组。
3. 要求从图形的变换直观地理解矩阵的乘法，并通过具体的实例让学生理解矩阵乘法的运算律。 4. 要在具体的实例中理解逆矩阵和特征值的实际意义及其不变性，结合具体实例能用线性方程组或用行列式来求解简单二阶矩阵的逆矩阵和特征值。逆矩阵的唯一性定理要结合具体几何变换来理解其合理性。
5. 在学习二阶矩阵基础知识的同时，教师可以根据教学的实际情况适时地介绍一些矩阵的拓广知识（如三阶矩阵或高阶矩阵），这些不要求学生掌握，只要求学生作一些感性的认识，也便于学生对矩阵的有关知识有一个较为全面的了解，有利于以后的学习。
6. 这部分内容的教学应让学生认识到，矩阵从实际生活需要中产生，并在实际的问题中有着广泛的应用，体验数学的抽象更有助于人们对问题的思考与解决。
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