数列与差分
随着信息技术的日益普及和发展，离散数学的应用越来越广泛。差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，在理论上是十分重要的，并且有广泛的应用。
本专题初步研究数列的差分和简单的差分方程，使学生掌握一些用离散变量分析解决问题的方法。
内容与要求 1. 数列的差分
（1）通过一些具体实例，理解数列差分的概念。
（2）理解数列的一、二阶差分以及它们对描述数列变化的意义，结合数列（作为函数）的图象，了解差分与数列的增减、极值、数列图象的凹凸的关系。 2. 一阶线性差分方程xn?1?kxn?b
（1）通过一些具体实例，体会方程xn?1?kxn?b是十分有用的数学模型。
（2）理解方程xn?1?kxn?b中，当b＝0（即方程为齐次方程）时，其解为等比数列；当k＝1（即差分为常数）时，其解为等差数列。
（3）认识方程xn?1?kxn?b的通解、特解，了解方程的解与相应的齐次方程xn?1?kxn通解的关系；能给出方程
xn?1?kxn?b的通解公式。
?xn?1?axn?byn?c? 3. （二元）一阶线性差分方程组?yn?1?dxn?eyn?f
（1）通过一些实例，认识一阶线性差分方程组是描述现实世界的一个重要模型。 （2）了解一阶线性差分方程组的通解、特解与其相应齐次方程组通解的关系。 （3）给定初值，会用迭代法求一阶线性差分方程组的解；能写出求解的算法框图。
（4）对给定的具体方程组，能初步讨论当n→∞时，解（数列）的变化趋势（收敛、发散、周期）。
4. 通过具体实例（如种群增长等），体会方程xn?1?kxn?1?xn?是十分有用的数学模型。借助计算工具，用迭代法分别对k取一些特殊值（如0＜k≤1，1＜k≤3，k＝3.4，k＝3.55，k＝3.7）的情形，讨论xn的变化，初步了解非线性问题的复杂性。 5. 应用
（1）学会用差分方程和差分方程组解决一些简单的实际问题。
（2）初步体会连续变量离散化的思想，能用它来讨论一些简单的问题。 6. 完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。对本专题内容的整体结构和内容的理解，对刻画离散变量变化的数学方法的认识。（2）拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，进一步探讨差分方程及其应用。（3）对本专题学习的感受。
说明与建议
1. 教学过程和教材编写，应通过大量实例，帮助学生理解差分的概念和差分方程的意义，力求深入浅出。
2. 通过对一阶线性差分方程的讨论，使学生理解方程解的结构，即通解、特解以及与齐次方程通解的关系。这不仅仅是为了求解差分方程，而且对将来进一步学习线性方程组、常微分方程等内容都有所帮助。
3. 关注学生用差分方程解决实际问题的能力。特别应鼓励学生能从实际问题建立差分方程，并能结合实际问题引导学生讨论解的实际意义。
4. 迭代方法是解决问题常用的数学方法之一，应使学生结合具体问题去体会迭代方法的意义和作用。
5. 在学习差分概念的过程中，应有意识地把差分和导数的概念进行对比，体会差分概念的意义和作用，并初步了解把连续变量离散化的思想。
坐标系与参数方程
坐标系是解析几何的基础。在坐标系中，可以用有序实数组确定点的位置，进而用方程刻画几何图形。为便于用代数的方法刻画几何图形或描述自然现象，需要建立不同的坐标系。极坐标系、柱坐标系、球坐标系等是与直角坐标系不同的坐标系，对于有些几何图形，选用这些坐标系可以使建立的方程更加简单。
参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式。某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便。学习参数方程有助于学生进一步体会解决问题中数学方法的灵活多变。
本专题是解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化。极坐标系和参数方程是本专题的重点内容，对于柱坐标系、球坐标系等只作简单了解。通过对本专题的学习，学生将掌握极坐标和参数方程的基本概念，了解曲线的多种表现形式，体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题的兴趣和能力，体会数学在实际中的应用价值，提高应用意识和实践能力。
内容与要求 1. 坐标系
（1）回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用。
（2）通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。
（3）能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。
（4）能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程。通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义。
（5）借助具体实例（如圆形体育场看台的座位、地球的经纬度等）了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会它们的区别。 2. 参数方程
（1）通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。 （2）分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程。
（3）举例说明某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便，感受参数方程的优越性。 （4）借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹（平摆线）、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹（渐开线），了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程。
（5）通过阅读材料，了解其他摆线（变幅平摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线）的生成过程；了解摆线在实际中应用的实例（例如，最速降线是平摆线，椭圆是特殊的内摆线——卡丹转盘，圆摆线齿轮与渐开线齿轮，收割机、翻土机等机械装置的摆线原理与设计，星形线与公共汽车门）；了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用。 3. 完成一个学习总结报告 报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。对本专题整体结构和内容的理解，进一步认识数形结合思想，思考本专题与高中其他内容之间的联系。（2）拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，进一步探讨参数方程、摆线的应用。（3）学习本专题的感受、体会。
说明与建议
1. 坐标系的教学应着重让学生理解平面和空间中点的位置都可以用有序数组（坐标）来刻画，在不同坐标系中，这些数所体现的几何含义不同。同一几何图形的方程在不同坐标系中具有不同的形式。因此，选择适当的坐标系可以使表示图形的方程具有更方便的形式。
2. 在坐标系的教学中，可以引导学生自己尝试建立坐标系，说明建立坐标系的原则，激励学生的发散思维和创新思维，并通过具体实例说明这样建立坐标系有哪些方便之处。
3. 应通过对具体物理现象的分析（如抛物体运动的轨迹）引入参数方程，使学生了解多数的作用。 4. 应注意鼓励学生运用已有的平面向量、三角函数等知识，选择适当的参数建立曲线的参数方程。 5. 可以组织学生成立兴趣小组，合作研究摆线的性质，收集摆线应用的实例。
6. 可以应用计算机展现心脏线、螺线、玫瑰线、叶形线、摆线、渐开线等，使学生感受这些曲线的美。
不等式选讲
在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系是基本的数学关系。它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用。
本专题将介绍一些重要的不等式和它们的证明、数学归纳法和它的简单应用。本专题特别强调不等式及其证明的几何意义与背景，以加深学生对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力。
内容与要求
1. 回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式。
2. 理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： （1）a?b?a?b； （2）a?b?a?c?c?b；
（3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
ax?b?c；ax?b?c；
3. 认识柯西不等式的几种不同形式。理解它们的几何意义。 （1）证明：柯西不等式向量形式：
x?c?x?b?a。????·?。
2?a （2）证明：
（3）证明：
2?b2c2?d2??ac?bd????。
?x1?x2?2??y1?y2?2
??x2?x3?2??y2?y3?2
??x1?x3?2??y1?y3?2 （通常称作平面三角不等式）。
4. 用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况：
?n?22ab?ab??ii??i·?i?i?1?。 i?1 i?1 5. 用向量递归方法讨论排序不等式。
6. 了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题。 7. 会用数学归纳法证明贝努利不等式：
n1?x?1?nx（x??1，x?0，n为大于1的正整数）?? 。
nn2 了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立。
8. 会用上述不等式证明一些简单问题。能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值。 9. 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。
10. 完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。对本专题介绍的不等式中蕴涵的数学思想方法和数学背景进行总结。（2）拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，进一步探讨不等式的应用。（3）对不等式学习的感受、体会。
说明与建议
1. 在本专题教学中，教师应引导学生了解重要的不等式都有深刻的数学意义和背景，例如本专题给出的不等式大都有明确的几何背景。学生在学习中应该把握这些几何背景，理解这些不等式的实质。
2. 利用代数恒等变换以及放大、缩小方法是证明不等式的常用方法，例如，比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等，在很多情况下需要一些前人为我们创造的技巧，对于专门从事某些数学领域研究的人们掌握这些技巧是极为重要的。但是，对大多数学习不等式的人来说，常常很难从这些复杂的代数恒等变换中看到数学的本质，对他们更为重要的是理解这些不等式的数学思想和背景。所以，本专题尽力使用几何或其他方法来证明这些不等式，使学生较为容易地理解这些不等式以及证明的数学思想，不对恒等变换的难度特别是一些技巧做更多的要求，不希望不等式的教学陷在过于形式化的和复杂的恒等变换的技巧之中。要求教材的编写者和教师不要选择那些代数恒等变换比较复杂或过于技巧化的问题或习题。
3. 数学归纳法是重要的数学思想方法，教师应通过对一些简单问题的分析，帮助学生掌握这种思想方法。在利用数学归纳法解决问题时，常常需要进行一些代数恒等变换。要求教材的编写者和教师不要选择那些代数恒等变换比较复杂或过于技巧化的问题或习题，以免冲淡了对数学归纳法思想的理解。
初等数论初步
数论是古老而又基础的数学，至今仍有许多没有解决的问题，一些问题的解决对现代数学的发展起了重要的推动作用，也产生了一些直接与数学有关的新的重要的数学分支，而且在现代信息技术中有很重要的应用。在日常生活中，也常常会遇到数论的一些问题。
本专题学生将通过具体的问题学习有关整数和整除的知识，探索用辗转相除法求解简单的一次不定方程、简单同余方程、同余方程组等，从中体会思想方法，了解我国古代数学的一些重要成就。
内容与要求
1. 通过实例（如星期），认识带余除法，理解同余和剩余类的概念及意义，探索剩余类的运算性质（加法和乘法），并且理解它的实际意义。体会剩余类运算与传统的数的运算的异同（会出现零因子）。 2. 理解整除、因数和素数的概念，了解确定素数的方法（筛法），知道素数有无穷多。
3. 了解十进制表示的整数的整除判别法，探索整数能被3，9，11，7等整除的判别法。会检查整数加法、乘法运算错误的一种方法。
4. 通过实例探索利用辗转相除法求两个整数的最大公约数的方法，理解互素的概念，并能用辗转相除法证明：若a能整除bc，且a，b互素，则a能整除c。探索公因数和公倍数的性质。了解算术基本定理。
5. 通过实例理解一次不定方程的模型，利用辗转相除法求解一次不定方程。并尝试写出算法程序框图，在条件允许的情况下，可上机实现。
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