高等数学复习题及答案

211?x?arctanx?1?x?221?x21?xx?1?x2x11?arctanx?? 1?x21?x21?x2xarctanx?1?x222x1?x?f'(1)??42x?sinx1?x?1317.求极限limx?0.

答案：

1 3知识点：洛必达法则 解：limx?0x?sinx1?x3?1?limx?01?cosx 　23x21?x3 ?21?cosx1sinx1lim?lim? 3x?0x23x?0x318.求不定积分x3lnx dx.

?14x4?C 答案： xlnx?416知识点：不定积分的分部积分法

1141314x44?C 解：?xlnx dx??lnx dx?xlnx??x dx?xlnx?4444163四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分) 19.确定常数a,b的值，使得点(1,答案：a??，b?0 知识点：曲线拐点

1132)为曲线y=x?ax?bx?1的拐点. 2434

解：由题意得f(1)?f\(1?)11 ?a?b?1?　423?a2?02

3解得 　a??，b?04?20.计算定积分I= 答案：

?20cosx?cos3x dx.

2 3知识点：定积分头凑微分法

???解：

?20cosx?cos3x dx??2cosx?1?cos2x? dx??2cosxsin2x dx

00?? ??20sinxcosx dx???2cosx dcosx

0??222cosxdcosx??cosx?

3301232 ???20五、应用题（本题9分）

21.设D是由曲线y=ex，y=e-x及直线x=l所围成的平面区域，如图所示.

(1)求D的面积A.

(2)求D绕x轴一周的旋转体体积Vx.

答案：e?

??11??2；?e2?2?2?

2?ee?

知识点：定积分的几何应用 解：

11x?x?A??(ex?e?x)dx??e?e?e??2??0e011Vx???(e?e02x?2x)dx???e22x?e?2x?10???1?2e??2?? 2?e2?六、证明题（本题5分）

22.证明：当x>0时，e2x>1+2x. 知识点：函数单调性 解：设f?x??e2x?1?2x，则f?0??0,其导数

　　　　f'?x??2e2x?2 因为当x>0时f'?x??0，所以f?x?当x>0时单调增加，

从而当x>0时f?x??f?0?，即e2x?1?2x.