数学高考利器NO0074-含详细解析-四川省棠湖中学2019-2020学年高三下学期第二次月考数学(理)试题

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设B?1,0,0?，C?0,1,0?，B1?1,0,2a?，则D?0,0,a?，B1?1,0,2a?，F?设平面BCD的法向量n??x0,y0,z0?， 则n?BC?0，n?BD?0，

?11?,,0?． ?22?vvvuuuvvuuuuuuvuuuv又BC???1,1,0?，BD???1,0,a?，

故???x0?y0?0，

?x?az?00?0v??1??． a?取x0?1，得n??1,1,uuuvBC因为1与平面BCD所成的角为30?，B1C???1,1,?2a?，

vuuuvn?B1Cvuuuv?所以|cos?n,BC|sin30?，vuuuv? 1)??n?B1C2?1??2?4a2?2?2?a????12，

解得a?v2n，?1,1,2． 2??uuuv?11?由（1）知平面BCB1的法向量AF??,,0?，

?22?vvuuuuuuvn?AFvcosn,AF?vuuuv?n?AF11?221?1+22?2?2?1??1????+???2??2?22=22

所以二面角D?BC?B1的余弦值为解法3： （1）同解法2．

2． 2（2）设AB?AC?1，AA1?2a，则BC?2，AF?2,BD?DC?1?a2， 2?DF?AD2?AF2?a2?1 2答案第15页，总22页

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?SVBDC112a2?1S，VBCB1?BB1?BC?2a， ?BC?DF?2222，设B1到面BCD距离为d， 2D到平面BCB1距离DE?由VB1?BDC?VD?BCB1

2111212a?1 得SVBCB1?DE?SVBDC?d，即?2a????d333232d?2a2a?12．

因为B1C与平面BCD所成的角为30?， 所以B1C?d2a?2d?2， 2sin30?2a?1而在直角三角形VB1BC中B1C?2所以4a?2?2BB12?BC2?4a2?2，

2a2a?12，

解得a?2． 2因为AF?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1,所以AF?BC，

EF?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1所以EF?BC，所以BC?平面DEFA， QDF?平面DBC,EF?平面B1BC

所以?EFD为二面角D?BC?B1的平面角， 而DA?AF?2,可得四边形DAFE是正方形，所以?EFD?45?， 22． 2所以二面角D?BC?B1的余弦值为

答案第16页，总22页

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【点睛】

本题考查线面垂直的证明，利用几何关系构造方程求出边的大小，利用空间向量证明线面垂直，求二面角的大小，属于中档题.

220．（1）x?2y；（2）S?MPQ?510. 【解析】 【分析】

（1）由题意设出直线PQ方程,并设P?x1,y1?,Q?x2,y2?.联立直线与抛物线方程,用韦达定理求得p,即可得曲线C的方程;

（2）将曲线C的方程变形,求得导函数.根据题意可求得切点M的坐标.联立直线与抛物线,结合韦达定理可得x1?x2,x1x2.结合直线方程可表示出y1?y2,y1y2.利用平面向量数量积

uuuuruuuuruuuuruuuur定义,表示出PMgQM.根据PMgQM??25即可得b.所以可得直线PQ方程.结合弦长公

式即可求得PQ,利用点到直线距离公式可得点M到直线PQ的距离,进而求得三角形

MPQ的面积.

【详解】

（1）设直线PQ方程为：y?2x?b,P?x1,y1?,Q?x2,y2?

?x2?2py?x2?4px?2pb?0, 则??y?2x?b则x1?x2?4p?4, 所以p?1

即曲线C的方程为x?2y；

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2（2）设M?x0,y0?,曲线C:x?2y,

变形可得y?12x,则y??x 2曲线C在点M处的切线与直线PQ平行可得：

k?y?|x?x0?x0?2?y0?2,所以M?2,2?,

?x2?2y,化简可得x2?4x?2b?0 ??y?2x?b则x1?x2?4,x1x2??2b

??16?8b?0?b??2,

y1?y2?2x1?b?2x2?b?2?x1?x2??2b?8?2b

2?xx?x12x2y1y2?g?12?b2

224uuuuruuuurPMgQM??2?x1,2?y1?g?2?x2,2?y2?

2??2?x1??2?x2???2?y1??2?y2? ?4?2?x1?x2??x1x2?4?2?y1?y2??y1y2

?b2?6b?16 uuuuruuuurPMgQM??25,

b2?6b?16??25,即b2?6b?9?0

∴b?3

直线PQ方程为：y?2x?3 弦长PQ?1?k2?x1?x2?2?4x1x2?102, 4?2?35?5, 高为点M到直线PQ的距离h?所以S?MPQ?【点睛】

1PQh?510 2本题考查了抛物线方程的几何性质,直线与抛物线的综合应用,平面向量数量积的定义,点到

答案第18页，总22页