【解析】函数f(x)的最小正周期为T?2π?2π，则函数f(x)的周期为T?2kπ?k?Z?，取k??1，可得函1
数f?x?的一个周期为?2π，选项A正确； 函数f(x)图象的对称轴为x?ππ?kπ?k?Z?，即x?kπ??k?Z?，取k?3，可得y=f(x)的图象关于直线33x?8π对称，选项B正确； 3??π??π?ππ?f?x?π??cos??x???π???cos?x??，函数f(x)的零点满足x??kπ??k?Z?，即
323??3????x?kπ?当x??π，选项C正确； ?k?Z?，取k?0，可得f(x?π)的一个零点为x?π66π?5π4π??π?,π?时，x???,?，函数f(x)在该区间内不单调，选项D错误.
3?63??2?故选D.
【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y?Asin(?x??)或y?Acos(?x??)的形式，则最小正周期为T?2π?；奇偶性的判断关键是解析式是否为y?Asin?x或y?Acos?x?b的形式.
（2）求f?x??Asin(?x??)???0?的对称轴，只需令?x???kπ?横坐标，只需令?x???kπ(k?Z)即可.
π?k?Z?，求x；求f(x)的对称中心的213．【2017年高考天津卷理数】设函数f(x)?2sin(?x??)，x?R，其中??0，|?|??．若f(且f(x)的最小正周期大于2?，则 A．??5????)?2，f()?0，882?，?? 312 B．?? D．??2??? ，???3121???C．??，???
243【答案】A
1?? ，??243??5?????2k??1??8422【解析】由题意得?，其中k1,k2?Z，所以??(k2?2k1)?，
33?11?????k?2??8又T?2???2?，所以0???1，所以???，故选A． 1212?， ，??2k1??123由???得??【名师点睛】关于y?Asin(?x??)的问题有以下两种题型：
①提供函数图象求解析式或参数的取值范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定A，再根据最小正周期求
?，最后利用最高点或最低点的坐标满足解析式，求出满足条件的?的值；
②题目用文字叙述函数图象的特点，如对称轴方程、曲线经过的点的坐标、最值等，根据题意自己画出大致图象，然后寻求待定的参变量，题型很活，一般是求?或?的值、函数最值、取值范围等． 14．【2019年高考北京卷理数】函数f（x）=sin22x的最小正周期是__________．
【答案】
π 22【解析】函数f?x??sin2x?1?cos4xπ，周期为. 22【名师点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式?三角函数的最小正周期公式，属于基础题.将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可. 15．【2019年高考江苏卷】已知
π?tan?2???，则sin?2???的值是 ▲ . π?4?3??tan????4??【答案】
2 10tan??1?tan??tan?tan?2????【解析】由，得3tan2??5tan??2?0， π?tan??1tan??13?tan????4?1?tan??解得tan??2，或tan???1. 3π?ππ?sin?2????sin2?cos?cos2?sin
4?44?22?2sin?cos??cos2??sin2????sin2??cos2??=?? 22?sin2??cos2??2?2tan??1?tan2??=??， 22?tan??1?2?2?2?1?22?2??=； 当tan??2时，上式=?2?22?1?10112?(?)?1?(?)222133?[]=. tan???=当时，上式
12103(?)2?13综上，sin?2????π?2?. ?4?10
【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得tan?的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.
16．【2018年高考全国Ⅰ理数】已知函数f?x??2sinx?sin2x，则f?x?的最小值是_____________．
【答案】?33 22【解析】f??x??2cosx?2cos2x?4cosx?2cosx?2?4?cosx?1??cosx?所以当cosx???1??， 2?11时函数单调递减，当cosx?时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为225ππ?ππ???2kπ?,2kπ?k?Z2kπ?,2kπ?，函数的递增区间为???k?Z?， ????33?33???所以当x?2kπ?33π,sin2x??， ,k?Z时，函数f?x?取得最小值，此时sinx??223所以f?x?min?2??????333?333????，故答案是. ??22?22【名师点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.
ππ17．【2018年高考北京卷理数】设函数f（x）=cos(?x?)(??0)，若f(x)?f()对任意的实数x都成立，则ω的
64最小值为__________． 【答案】
2 3【解析】因为f?x??f?所以
?π??对任意的实数x都成立，所以?4??π?
f??取最大值， ?4?
ππ2???2kπ?k?Z?，??? 8k??k?Z?， 4632因为??0，所以当k?0时，ω取最小值为.
3【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查考生的逻辑推理能力以及运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.
π??18．【2018年高考全国Ⅲ理数】函数f?x??cos?3x??在?0，π?的零点个数为________．
6??
【答案】3
【解析】Q0?x?π，?ππ19π，由题可知πππ3π，或π5π，解得?3x??3x??，3x??3x??666626262x?π4π，或7π，故有3个零点.
,999【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查数形结合思想和考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.
19．【2018年高考江苏卷】已知函数y?sin?2x???(?________． 【答案】?πππ???)的图象关于直线x?对称，则?的值是223π 62ππ?2?π?????1，所以π????kπ，????kπ(k?Z)，
326?3?【解析】由题意可得sin?因为?πππ???，所以k?0,???. 2262ππ【名师点睛】由对称轴得π????kπ，????kπ(k?Z)，再根据限制范围求结果.函数
326y?Asin??x????B（A>0，ω>0）的性质：
(1)ymax?A?B,ymin??A?B； (2)最小正周期T?(3)由?x???2π?；
π?kπ?k?Z?求对称轴； 2πππ3π?2kπ?k?Z?求减区间. (4)由??2kπ??x????2kπ?k?Z?求增区间;由?2kπ??x???222220．【2017年高考全国Ⅱ理数】函数f?x??sin2x?3cosx?【答案】1
【解析】化简三角函数的解析式：
3?π?(x??0,?)的最大值是 . 4?2??313? f?x??1?cos2x?3cosx???cos2x?3cosx????cosx?????1，442??由自变量的范围：x??0,2??π?可得：cosx??0,1?， ?2?当cosx?3时，函数f?x?取得最大值1. 2
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