函数的单调性和奇偶性
一、教学目标 1．函数的单调性 2．函数的奇偶性 二、考点、热点回顾 1．函数的单调性
⑴函数的单调性是对于函数定义域内的某个区间而言的，即这个区间必定是函数定义区间的子区间．在一个函数的定义区间内，不同的子区间上函数可能有不同的单调性，因此，在谈某个函数的单调性时，必须同时说明相应的区间．在不提单调区间时，应认为函数在整个定义区间内有同一的单调性.函数的单调区间可能是开区间，可能是闭区间，也可能是半开半闭区间．
⑵函数不一定有单调区间，如函数f(x)?x?1?1?x的定义域为?1?，显然
?1(x为有理数)不存在单调区间.又如函数f(x)??也不存在单调区间．
?1(x为无理数)?⑶判断函数的增减性，可以根据已研究过的函数的单调性，也可以根据函数单调性的定义.由定义判断函数y?f(x)在区间[a,b]上的单调性时，通常设
a?x1?x2?b，然后作差式f(x1)?f(x2)，将该差式作适当的变形并判断差式的
符号，从而得出结论．
例1 画出函数f(x)?x?4x?3的图像，并由图像写出函数f(x)的单调区间．
2
例2 画出函数y?x?2?x?1的图像，并根据图像写出函数的单调区间．
例3 求证：函数f(x)?1?x在定义域上是减函数. 例4 求证：函数f(x)?x?34在区间(0,2]上递减，在区间[2,??)上递增. x例5 求函数y?F(x)?8?2x?x2的单调区间. 2．函数的奇偶性
⑴函数的奇偶性是对于函数的整个定义域而言的.由定义知，如果函数f(x)是奇
函数或偶函数，若x在函数定义域内，则?x也一定在函数的定义域内，因此其定义域在数轴上表示的区间必然关于原点对称（简称“定义域关于原点对称”）.由此在判断函数是否具有奇偶性时，首先应检查其定义域是否关于原点对称.
⑵证明函数的奇偶性，只能根据函数奇偶性的定义，即研究f(?x)和f(x)的关系.
⑶函数f(x)的奇偶性情况有四种可能：①f(x)是奇函数；②f(x)是偶函数；③f(x)既是奇函数又是偶函数；④f(x)既非奇函数又非偶函数.
⑷一个函数是奇函数的充要条件是函数的图像关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是函数的图像关于y轴对称.
函数奇偶性的证明通常根据奇偶性的定义. 例6 判断函数的奇偶性:
⑴f(x)?x?ax ; ⑵f(x)?3x2?1?x?1x?1?x?12;
?(x?1)2,(x?0)1?x?⑶f(x)?(1?x)?; ⑷f(x)??0,(x?0),
1?x?(x?1)2(x?0).?
例7 已知定义在(??,??)上的偶函数f(x)在区间(??,0]是增函数，求证：
f(x)在区间[0,??)上是减函数.
例8 已知定义在R上的函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且
f(x)?g(x)?1，求函数f(x)的解析式. 2x?x?1例9 求证：函数f(x)?(k?1)x?k?1不可能既是奇函数又是偶函数.
DSE金牌数学专题系列 第 讲 过手训练 姓名： （快速五分钟，稳准建奇功）
1．如果偶函数（ ）
A．是减函数 B．是增函数 C．可能是减函数，也可能是增函数 D．不一定具有单调性 2．对于奇函数 A． C．
f(x)在区间?0,???上是增函数，那么f(x)在区间???,0?上
f(x)，必有 （ ）
f(x)?f(?x)?0 B．f(x)?f(?x)?0 f(x)?f(?x)?0 D．f(x)?f(?x)?0
2 3．函数y?x是（ ）
?2mx?1在区间??1,???上是增函数，则实数m的取值范围
A．m??1 B．m??1 C．m?1 D．m?1 4．函数y? A． C．
x2?2x?3 递增区间是（ ）
??1,??? B．???,?1? ?1,??? D．???,?3?
?x?2(x?0),f(x)?? （ ）
?x?2(x?0) 5．函数
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既非奇函数又非偶函数 6．已知函数y?f(x)在区间?0,2?上是减函数，且y?f(x?2)是偶函数，
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