解析：如图所示，延长FE交BC于点R，过点A1作A1H∥EF，则由面面平行的性质知四边形
A1HRF为平行四边形，过点A作AG垂直EF的延长线于点G，连接A1G，则FG⊥A1G.因为AF＝4λ，
所以DF＝4－4λ，则FR＝4＋以AG＝
4λ1＋
－2λ
22
2
－8λ
2
，sin∠DFR＝
2
44＋
2
－8λ
＝sin∠AFG＝，所2
＝A1G·FR＝
2
2
AGAF16λ
，AG＝1＋12
1＋－2λ
2，所以S2四边形A1HRF2
16λ?1＋
?1＋－2λ?
? [42＋(4－8λ)2]＝42＋(4－8λ)2＋256λ2＝32(10λ2－2λ＋1)，当λ＝1?10?
1441252时，(S四)，(S). min＝ min＝边形A1HRF四边形A1HRF55
125
答案： 5
13．(2017·嘉兴模拟)如图，在等腰梯形PDCB中，PB＝3，DC＝1，PD＝BC＝2.AD⊥PB，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD.
(1)若M是侧棱PB的中点，求证：CM∥平面PAD； (2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值． 解：(1)证明：取PA的中点N，连接MN，DN. 1
∵M，N为PB，PA的中点，∴MN綊AB.
2在等腰梯形PDCB中，PB＝3，DC＝1， 1
∵AD⊥PB，∴CD綊AB，∴MN綊DC，
2四边形MNDC为平行四边形，故CM∥DN. ∵CM?平面PAD，DN?平面PAD，
∴CM∥平面PAD.
(2)作BE∥AD交DC的延长线于E点．
∵AD⊥AB且平面PAD⊥平面ABCD，∴AB⊥平面PAD. 如图将几何体补成直三棱柱PAD -KBE.
过点B作BH⊥KE，∵PK⊥平面BEK，∴PK⊥BH，
∴BH⊥平面PCD，则PB在平面PCD上的射影为PH，故∠BPH就是直线PB与平面PCD所成角． 12
在Rt△PBH中，BH＝KE＝，且PB＝5，
22∴sin∠BPH＝＝
BHPB10， 10
10. 10
故直线PB与平面PCD所成角的正弦值为
14．已知四边形ABCD是矩形，BC＝kAB(k∈R)，将△ABC沿着对角线AC翻折，得到△AB1C，设顶点B1在平面ABCD上的射影为O.
(1)若点O恰好落在边AD上， ①求证：AB1⊥平面B1CD；
②若B1O＝1，AB>1，当BC取到最小值时，求k的值；
(2)当k＝3时，若点O恰好落在△ACD的内部(不包括边界)，求二面角B1-AC-D的余弦值的取值范围．
解：(1)①证明：因为点B1在平面ABCD上的射影为点O.所以平面AB1D⊥平面ACD，又CD⊥
AD，
所以CD⊥平面AB1D，所以AB1⊥CD，
又因为AB1⊥CB1，CB1∩CD＝C，所以AB1⊥平面B1CD. ②点O在AD边上且B1O＝1，设AB＝x，BC＝y， 则AO＝x－1，
由于AB1⊥B1D，所以△AOB1∽△AB1D， 所以B1D＝
2
AB1x×B1O＝2， AOx－1
2
2
所以y＝B1C＝CD＋B1D＝ x＋
2
x2x2－1
＝
x2－1＋
1
x2
－1
＋2 ≥ 2
x2－
1
x2
－1
＋2＝2. 当且仅当x2
－1＝
1
x2
－1
，即x＝2时取得等号． 故当x＝2时，y有最小值2，所以k＝2. (2)作BF⊥AC交AC于点E，交AD于点F，
若点O恰好落在△ACD的内部，即点O恰好落在线段EF上，由于B1E⊥AC，EF⊥AC，
所以∠B1EF为二面角B1-AC-D的平面角， cos∠B1EF＝EOB∈?1E??0，13???
. 即二面角B的余弦值的取值范围是??11-AC-D?0，3???
.
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