专题三 函数的基本性质2

专题三函数的基本性质（2）——奇偶性与周期性

一、奇偶性

1. 已知f(x)?ax2?bx?3a?b是偶函数，且其定义域为[a?1,2a]，则a?，b?. 2. 已知f(x)?x5?ax3?bx?8，且（则f(2)=___________. f-2）=10，3.设f(x)是R上的奇函数，当x?0时，f(x)?2x?2x?b，则f(?1)?（）

A.3B.1C.?1D.?3

4.已知y=f(x)+x2是奇函数，且f(1)=1，若g(x)=f(x)+2，则g(-1)=_______. 5.设函数f(x)是R上的奇函数，并且当x?[0,??)时，f(x)=x1?时，f(x)=________________.

?3x，当x?(??,0)?x?m，则常数m?,n?.

x2?nx?17. 已知f(x)为R上的奇函数，则y?f(2x?1)?1的图像必过定点.

6. 定义在（-1,1）上的奇函数f(x)?28.已知f ( x ) = loga(?x?1?x)?log1(a2?1)，则f ( x )为( ) 1?xA．偶函数 9.已知函数f(x)＝ln(

B．奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 1

1＋9x2－3x)＋1，则f(lg 2)＋flg＝( )

2

A．－1 B．0C．1 D．2

10. 已知函数y=f(x)是偶函数，y=f(x?2)在[0,2]上是单调减函数，则( ) A. f(0)

A.(?3,0)?(0,3) B.(??,?3)?(3,??) C.(?3,0)?(3,??) D.(??,?3)?(0,3) 12. 若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(??,0]上是减函数，f(2)?0，则使得f(x)<0的x的取值范围是.

13.已知f(x)是R上的偶函数，f(2)??1，若f(x)的图像向右平移1个单位长度得到一个奇函数的图像，则f(1)?f(2)???f(2011)?.

14.已知函数f(x)是偶函数，且它在［0,+∞)上是减函数，若f(lgx)>f(1),则x的取值范围是__________.

15.已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．

16.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)1

＋f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围是( )

2

11

A．[1，2] B．[0，] C.[，2]D．(0，2]

22

17．设f(x)是R上的偶函数，且f(x?6)?f(x)?f(3)，对任意x1,x2?[0,3]，当x1?x2时，都有

f(x1)?f(x2)?0，则（ ）

x1?x2A.函数f(x)在[6,9]上是增函数B.函数f(x)在[6,12]上是增函数 C.方程f(x)?0在[?9,9]上有6个不等的实根 D.方程f(x)?0在[?9,9]上有4个不等的实根

二、周期性

1.x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R上为( )

A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数 2.设函数D(x)=??1,x为有理数，则下列结论错误的是_________.

?0,x为无理数,①D(x)的值域为{0,1}；②D(x)是偶函数； ③D(x)不是周期函数；④D(x)不是单调函数.

3.设f(x)是以2为周期的函数，且当x∈[1，3)时，f(x)＝x－2，则f(－1)＝________. 4.定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x)，当-3≤x＜-1时，f(x)=-(x+2)2，当-1≤x＜3时，f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 012)=__________. 8.函数f(x)对x?R都有f(x?2)?1，若f(1)??5，则f(f(5))?。 f(x)10.定义在R上的函数满足f(x)f(x?2)?13，若f(1)?2，则f(99)?（ ）

A.13 B.2 C.

132 D. 2135.定义在R上的函数f(x)满足f(x)??

?1?x,x?0，则f(2011)?（）

?f(x?1)?f(x?2),x?0 A.-1 B.0 C.1 D.2

6.已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x?4)??f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间??8,8?上有四个不同根x1,x2,x3,x4,则x1?x2?x3?x4?_________.

7．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，则有 ①2是函数f(x)的周期；

②函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数； ③函数f(x)的最大值是1，最小值是0. 其中所有正确命题的序号是________．

三、奇偶性、周期性与对称性

1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x?2)=?f(x)，则f(6)?（） A.-1 B.0 C.1 D.2

2.设f(x)是(??,??)上的奇函数，f(x?2)=?f(x)，当0?x?1时，f(x)=x，则f(7.5)?.

3. 已知f(x)为R上的奇函数，且满足f(x?2)=?f(x)，当x?[0,1]时f(x)=2?1，则f(?5)=______.

4. 若f(x)是R上的周期为5的奇函数，且f(1)?1,f(2)?2,则f(3)?f(4)?.

5.设f(x)是R上的奇函数,且f(x＋1)?x1?f(x),当0?x?1时,f(x)?2x,则

1?f(x)f(11.5)?( )

11A.?1B.1C.D.?

226.若f(x)在(4,??)上为减函数，且对任意实数x，都有f(x?4)?f(4?x)，则（） A.f(2)?f(3)B.f(2)?f(5)C.f(3)?f(5)D.f(3)?f(6)

7. 设函数f(x)?x?1?x?a的图像关于x?1对称，则a的值为（）

A.1 B.2 C.3 D.-1

8.若函数y?f(x?2)?2为奇函数，且函数y?f(x)的图像关于点M(a,b)，则2a?b?.

9.设f(x)是R上的奇函数，且y?f(x?

10.已知函数f(x)的图像关于点(?1)为偶函数，则f(1)?f(2)???f(2011)?. 233,0)对称，且满足f(x)??f(x?),且f(?1)?1,42f(0)??2,则f(1)?f(2)???f(2011)?.

11.已知f(x)是R上的单调函数，f(?x)??f(x?4)，当x?2时f(x)单调递增，如果

x1?x2?4，(x1?2)(x2?2)?0，对于f(x1)?f(x2)的值推断正确的序号为.①恒小于0；②恒大于0；③可能为0；④可正可负。

1?2的图像关于点A(0,1)对称. x（1）求f(x)的解析式；（2）若g(x)?f(x)?x?ax，且g(x)在区间?0,2?上为减函数，

12.已知函数f(x)的图像与函数h(x)?x?求实数a的取值范围.

13.设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x. (1)求f(π)的值；

(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；

(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调区间．

14．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间[0,7]上只有f(1)＝f(3)＝0

(1)试判断函数y＝f(x)的奇偶性；

(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2 005,2 005]上的根的个数，并证明你的结论．