燕山大学毕业设计：EIT图像重建技术研究

第4章 EIT技术图像重建算法

~~S????V，?V??V?? (4-16) Tikhonov正则化算法的出发点是对EIT正问题的求解做出了一个新的解释，它考虑了测量电压向量?V的不确定性(从实际测量角度而言就是考虑了测量的电压变化与实际电压变化之间测量误差的影响)。

~该算法将满足不等式S????V??的所有电导率分布变化向量??中

~都看作是式(4-16)的解。也就是需要在该不等式具有最小二范数的向量??成立的条件下求式(4-17)的二次泛函：

H(??)??? (4-17)

~22如果有0???0?min??，其中?????Rn;S????V??(其中

????~n为经过有限元剖分后单元的个数)，且?0?S????V??,则当下式成立

2??时：

?????0??min?1,??S???对于???(1??)??0，有：

??? (4-18) ??~~S????V?(S??0??V)??S??0~?S??0??V??S??? (4-19)

??2并且??2~因此，满足条件S????V??的电导率分布变化向量??0不可能是既

~是集合?????Rn;S????V??中的元素，而且还满足二次泛函H的

?(1??)2??0???0。

2??及消化问题的解(即??0不可能为极小二范数解)。

因此，提出下面极小化问题：

?????~minH(??)，??????Rn;S????V?? (4-20)

??而这个求极小化的问题可以看转化成对如下泛函式进行求解：

~2~22J?S????V??H(??)?S????V???? (4-21) 的极小化的问题，?是一个大于0的常数。对泛函式(4-10)的极小化的问题进行求解等价于求解：

~(STS???I)???ST?V (4-22)

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~对于一切式(4-22)中I为与STS阶数相同的单位矩阵，式(4-11)的解??正?存在且唯一，因此有：

~~~?(STS???I)?1?ST?V???S*??V (4-23) 上式中S*?(STS???I)?1?ST是Tikhonov正则化逆矩阵，?称作正则化参数。

Tikhonov正则化算法将测量电压扰动的影响纳入了其考虑的范围，因此在对不适定问题进行求解的时候，可以获得相对较为稳定的解。Tikhonov正则化方法对雅克比矩阵的广义逆矩阵加入了正则化修正，而不是像灵敏度系数法那样单纯的以ST作为S的逆矩阵，通过选择合适的正则化参数?可以得到较为精确的传输管道内电导率分布变化的图像。而且在应用Tikhonov正则化算法实现EIT求解时，仅仅比灵敏度系数算法多了几个矩阵的乘法及求逆，这些运算在Matlab中占用的运算时间是微不足道的，因此同样可以满足实时性的要求[45]。

4.3.4 不同算法图像重建效果对比

为了对比不同的重建算法所重构出来的图像的效果，从而选择一种成像效果较好，适合进行微通道两相流图像重建的算法，本文基于EIDORS软件包采用上述三种算法分别对不同的电导率分布模型进行了图像重建。为了从数值上更清楚的对比各重建图像的效果，引入了相对残差Re来评价所重建的图像的精确度：

~????? (4-24) Re???~为经过EIT逆问题求解之后所得其中??为真实的电导率分布的变化，??的电导率分布的变化。

假设各模型初始的电导率分布均为单相流均匀分布，即没有杂质掺入，以下对比图中的均为电导率发生变化之后的模型，灰度较深的单元即为掺入的具有另一种电导率的离散相。电导率分布模型及采用不同算法进行逆问题求解得到的图像如图4-1所示，其中Tikhonov正则化参数?定为0.001，迭代Landweber算法进行了30次迭代运算。

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第4章 EIT技术图像重建算法

模型1 模型2 模型3

STM

Tikhonov

Landweber

图4-1 各算法得到的图像效果对比

表4-2为采用以上几种重建算法对不同的模型进行重建所对应的相对残

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差值：

表4-2 各算法对模型进行重建对应的相对残差值

重建算法 模型1 模型2 模型3

灵敏度系数算法

1.0003 1.0002 0.9977

Tikhonov正则化算法

0.9895 0.9844 0.8910

迭代Landweber算法

0.9979 0.9955 0.9534

通过对比图4-1中各算法重建出来的图像效果及表4-2中个算法重建之后与原始电导率分布的相对残差值，可以发现，无论是对于哪种模型，Tikhonov正则化算法得到的图像的效果都是最好的。使用灵敏度系数算法进行图像重建，虽然运算过程相对简单，但是重建出的图像几乎分辨不出离散相的形状及位置。迭代Landweber算法经过一系列的迭代运算对雅克比矩阵的广义逆矩阵进行了近似估计，相对于灵敏度系数算法，重建的图像效果要好很多，基本上能够分辨出离散相的大体位置，但是无法分辨出离散相的大体形状及大小，尤其是使用该算法对模型3进行图像重建所的的图像，根本无法分辨出离散相的环形形状。

通过对比可以发现，Tikhonov正则化算法在不需要迭代的情况下就比其他两种算法得到的图像效果好很多。使用该算法重建的图像相对于原始模型的电导率分布的相对残差也是最小的。能够基本上分辨出离散相的位置及形状。但是，如果需要比较高的图像精度的话,Tikhonov正则化算法将无法满足要求。因此，需要在该算法的基础上，采用一定的迭代因子进行迭代运算，通过不断的迭代对运算的结果进行修正，从而使重建出来的图像更为精确。

4.4 本章小结

本章主要研究的是EIT成像问题中的逆问题。EIT的逆问题主要就是图像重建算法的研究，因此本章介绍了目前常用的几种图像重建算法，并且对不同的流型进行重建，通过比较不同算法的重建图像，分析了各种算法的优缺点。

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