此资料由网络收集而来，如有侵权请告知上传者立即删除。资料共分享，我们负责传递知识。 “?”的自述
大家好，我是?．在集合这个大家庭里，我可是个活跃分子，很多领域都有我的足迹，因此我就成了一个大家都认识的名人．认识归认识，你了解我吗；你知道我的种种“功绩”吗？下面我就自己做一下介绍吧． 一、揭开面纱 认识我吧
例１判断下列几个命题，将正确的填在横线上_______． ①
???0?
② ??A ③
?????
?xy?x④
2?1???x,y?y?x2?1???．
解：①不正确，定义中说?不含有任何元素，②正确，?是任何集合的子集． ③正确，?是个集合但它也可以看成
?0?是含有一个元素０的单元素集合，不相等．
???中的一个元素，故可用属于符号．
④正确，两个集合代表元素不同，也不可能有公共元素，交集为?．
评注：本题涉及了?的基本性质，包括它的定义、与其他集合的关系等．从解析过程我们需要注意这几方面：?含元素个数为０而不是含有０元素、?是任何集合的子集是任何非空集合的真子集、?可以作为元素看待、集合代表元素不同交集为?．这几点，对于我们全面认识?很有帮助．
练习：下列集合表示空集的是（ ） Ａ Ｃ
?0?
Ｂ
??x,y?y22??x2,x?R,y?R?
?xx?5,x?Z,x?N? Ｄ?x2x
?3x?2?0,x?N?二、包含关系 记住有我 例２：设解：集合
A??xx2?8x?15?0?B??xax?1?0?若B?A，求实数a组成的集合．
A??3,5?．
B?A，?集合B可能为?、?3?或?5?．
此资料由网络收集而来，如有侵权请告知上传者立即删除。资料共分享，我们负责传递知识。 当B为?时，方程ax?1?0无解，所以a?0；
当B为
?3?时，方程ax?1?0的解为3，所以3a?1?0即
a?13； 15．
当B为
?5?时，方程ax?1?0的解为５，所以5a?1?0即
a??11??0,,?综上所述实数a组成的集合为?35?．
评注：本题用到了分类讨论思想，在对集合B讨论时，不要只注意到单元素集合还要注意到?的情况．本题充分体现了，空集是任何集合的子集． 练习：已知集合
A??xx2?3x?10?0?，集合
B??xp?1?x?2p?1?，若B?A，求p的范围．
三、集合运算 有我一份 例３：设值范围． 解：集合
A??xx2?6x?8?0?，
B?x?x?a??x?3a??0??，若AB??，求a的取
A??x2?x?4?．
AB??，?集合B为?或不为?．
当B为?时，a?3a即a?0； 当B不为?时， 若a?3a即a?0时，
B??x3a?x?a?，则AB??；
B??，得3a?2或a?4，则
0?a?23若a?3a即a?0时，或a?4．
B??xa?x?3a?，由A2????,??3??a综上所述的取值范围为
?4,???．
评注：如果集合B中的元素满足一个含参数的不等式，有AB??、AB?B等，就要
特别注意B为?的情况．本题我们要解含参不等式，就要从三方面进行讨论，其中第１种情况就要先想到B为?．
此资料由网络收集而来，如有侵权请告知上传者立即删除。资料共分享，我们负责传递知识。 练习：设
22A??xx2?4x?0?B?xx?2?a?1?x?a?1?0??若AB?B，求a的值．
四、补集思想 用我则易 例４：已知集合解：集合若A那么AA??xx2?x?6?B??x0?x?m?9?，集合
若A．
B??，求m的范围．
A??x?2?x?3?B??xm?x?m?9?B??，则m?9??2或m?3即m??11或m?3． B??，则?11?m?3．
评注：本题正面考虑不太好想，所以采用了“反证法”的“正难则反”的思想，从反面入手先解得满足A是出现A来考虑． 练习：集合若A2A??aax2?4x?1??2x2?a恒成立?B?xx??2m?1?x?m?m?1??0B??的m的取值范围，再利用补集思想转回来解决了问题．所以只要
B??求参数范围的问题，我们都可以从它的对立面利用?解决问题方便的原则
??
B??，求m的范围．
大家看清楚了吗？以上就是我的自我介绍了，其中包含了我的重要性质、我的重要作用等，希望大家好好研究一下，在以后做题的过程中，不要用错我、忽略我啊．
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