第十一章 微分方程
一、知识结构图与学习要求
（一）知识结构图 常微分方程常微分方程
微 微 分 分 方 方 程 程
偏微分方程 偏微分方程基本概念 基本概念 可分离变量方程 齐次方程 线性方程 伯努利方程 全微分方程 可降阶方程 齐次线性方程 线性方程 非齐次线性方程 欧拉方程 一阶方程 高阶方程 （二）学习要求 （1）了解常微分方程及其解、通解、阶、初始条件和特解等基本概念． （2）熟练掌握一阶微分方程的解法（可分离变量的微分方程、齐次方程、一阶线性微分方程、全微分方程），会用简单的变量代换求解某些微分方程．
（3）理解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会用降阶法解下列3种类型的方程：
(n)y?f(x)，y???f(x,y?)和y???f(y,y?)． （4）掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程．
（5）会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程，会解欧拉方程．
（6）会用微分方程解决一些简单的应用问题．
二、内容提要
（一）微分方程的基本概念
（1）凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程．未知函数是一元函数的，叫做常微分方程．未知函数是多元函数的，叫做偏微分方程．
（2）微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶． （3）如果一个函数代入微分方程能使该方程成为恒等式，则称这个函数为微分方程的解．如果微分方程的解中所含的独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，那么此解称为微分方程的通解．确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解．
（4）求微分方程y??f(x,y)满足初始条件y|x?x0?y0的特解，叫做一阶微分方程的初值问题，记作
??y??f(x,y)， ?y|?yx?x0?0?微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线，以上初值问题的几何意义
就是求微分方程的通过定点(x0,y0)的积分曲线．
（二）一阶方程
1．可分离变量的微分方程
一般地，如果一个一阶微分方程能写成g(y)dy?f(x)dx的形式，那么原方程就称为可分离变量的微分方程，这类方程只需要在g(y)dy?f(x)dx两边同时积分即可求解．这是微分方程中最基本的类型．
2．齐次方程
dyyy?f(x,y)中的函数f(x,y)可写成的函数，即f(x,y)??()，则dxxx称该方程为齐次方程．
y
求解齐次方程，通常作变换u?，即y?ux，并对其两端关于x求导得
xdydu?u?x， dxdxy代入原方程，原方程即可化为可分离变量方程，求出此可分离变量方程的通解后，以代替
xu，即可得到原方程的通解．
3．一阶线性微分方程
dy（1）形如?P(x)y?Q(x)的方程叫做一阶线性微分方程．
dxa．如果Q(x)?0，则该方程称为齐次的，此时方程属于可分离变量的微分方程，求解得
如果一阶微分方程
?P(x)dx（此处用?P(x)dx表示P(x)的某个确定的原函数）； y?Ce?b．如果Q(x)不恒等于零，则该方程称为非齐次的，利用常数变易法可求该非齐次线性
dy方程的通解．用常数变易法求?P(x)y?Q(x)通解的一般步骤如下：
dx?P(x)dxdy第一步：求出?P(x)y?0的通解y?Ce?；
dx?P(x)dxdy第二步：变易常数，即令y?C(x)e?是?P(x)y?Q(x)的解；
dx?P(x)dxdy第三步：将y?C(x)e?代入?P(x)y?Q(x)，求出
dxP(x)dxC(x)?Q(x)e?dx?C；
?第四步：将C(x)??Q(x)e?程
P(x)dx?P(x)dxdx?C代入y?C(x)e?中即可得到一阶线性非齐次方
dy?P(x)y?Q(x)的通解为 dx?P(x)dx??P(x)dxdx?C?． y?e?Q(x)e?????▲约定 本章中出现的C，如果未加说明均指任意常数．
dy?P(x)y?Q(x)yn(n?0,1)的方程称为伯努利（Bernoulli）方程，当n?0dx或1时，方程是线性微分方程．
dzdy伯努利方程的求解：令z?y1?n得?(1?n)y?n，原方程即可化为一阶线性方程
dxdxdz?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x)， dx求出该方程的通解，再将z?y1?n代入即得到该伯努利方程的通解．
4．全微分方程
（1）若一阶微分方程P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0的左端恰好是某一个函数u?u(x,y)的全
（2）形如
微分，即du(x,y)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy，则该方程叫做全微分方程．因此，u(x,y)?C是全微分方程的隐式通解．
（2）当P(x,y)，Q(x,y)在单连通域G内具有一阶连续偏导数时，则方程
P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0
?P?Q在区域G内恒成立． ??y?x为全微分方程的充要条件是
（3）求全微分方程的通解有如下3种常用方法．
方法1利用方程P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0在单连通域G内是全微分方程的充要条件是?P?Q，即曲线积分?P(x,y)dx?Q(x,y)dy在单连通域G内与积分路径无关，得 ?L?y?xu(x,y)??(x,y)(x0,y0)Pdx?Qdy??P(x,y0)dx??Q(x,y)dy
x0y0yxxy或者
u(x,y)??Q(x0,y)dy??P(x,y)dy，
y0x0其中(x0,y0)为G内任一定点．
方法2设du?P(x,y)dx?Q(x,y)dy，则
?u(x,y)?u(x,y)?Q(x,y)， ?P(x,y)，
?y?x?u(x,y)在?P(x,y)两边积分，得
?xu(x,y)??P(x,y)dx??(y)， 而由
?u(x,y)?Q(x,y)可得 ?yQ(x,y)??u(x,y)?????P(x,y)dx??(y)?? ?y?y?P(x,y)??dx???(y)，
?y由此式解出??(y)，积分得?(y)．从而求出函数u(x,y)．
同理，也可以先由
?u(x,y)?Q(x,y)求得 ?yu(x,y)??Q(x,y)dy??(x)，
再由
?u(x,y)?P(x,y)和上式得 ?xP(x,y)???Q(x,y)dy???(x)， ?x解出??(x)，积分求得?(x)，从而可求出函数u(x,y)．
方法3把P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0左边凑微分凑成P(x,y)dx?Q(x,y)dy?du，则 u(x,y)?C即为所求的通解．
（4）当方程P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0不是全微分方程，这时如果存在一个适当的函数
???(x,y)(?(x,y)?0)使?(x,y)P(x,y)dx??(x,y)Q(x,y)dy?0是全微分方程，则称函数?(x,y)为该方程的积分因子．求积分因子一般比较困难，积分因子如果存在则不惟一， 因
而通解可能具有不同的形式．
常见的一些凑微分公式
1xdy?ydx?d(xy)， xdx?ydy?d(x2?y2)，
2xdx?ydy1xdy?ydx?y?22?， ?d?d?ln(x?y)??， 222?xx?y2??x??x?xdy?ydxxdy?ydx??d?d?arctan???， 222yx?y??y?y??， x??1x?y?xdy?ydxxdy?ydx?y??dln?d， ???ln?，
x2?y22x?yxy?x????y2??x2?2xydy?y2dx2xydx?x2dy?d??， ?d??． 2x2xy???y?（三）可降阶的高阶微分方程
下面介绍3种容易降阶的高阶微分方程的求解方法． 1．y(n)?f(x)型的微分方程
对此方程两边连续积分n次，每积分一次增加一个任意常数，便得此方程的含有n个任意常数的通解．
2．y???f(x,y?)型的微分方程
dp此方程的特点是方程中不显含y，设y??p，则有y????p?，那么原方程转化为一阶
dx方程p??f(x,p)，这是关于x、p的一阶微分方程，求出其通解p??(x,C1)，即得到另一个一阶方程y???(x,C1)，两边积分即可得到原方程的通解为y???(x,C1)dx?C2，其中C1，C2是任意常数．
3．y???f(y,y?)型的微分方程
此方程的特点是方程中不显含自变量x，令y??p，则有
dpdpdydpy?????p，
dxdydxdy
相关推荐：
loading