四、自我测试题
A级自测题
一、选择题（每小题4分，共16分）
1．下列方程中为可分离变量方程的是（ ）． A．y??exyB．xy??y?ex
C．(x?xy2)dx?(y?x2y)dy?0D．yy??y?x?0 2．下列方程中为可降阶的方程是（ ）． A．y???xy??y?1B．yy???(y?)2?5 C．y???xex?yD．(1?x2)y???(1?x)y 3．若连续函数f(x)满足关系式f(x)??2x0?t?． f??dt?ln2，则f(x)等于（ ）
?2?A．exln2 B．e2xln2 C．ex?ln2D．e2x?ln2 4．方程y???y?cosx的一个特解形式为Y?( )． A．AxcosxB．Axcosx?Bsinx C．Acosx?BxsinxD．Axcosx?Bxsinx
二、填空题（每小题4分，共16分）
d?1．微分方程???sin2?的阶数为．
d?2．一阶线性微分方程y??g(x)y?f(x)的通解为_________．
3．微分方程y???4y??4y?0满足初始条件y(0)?1，y?(0)?4的解为_________． 4．微分方程y???y??x的通解为．
三、求下列一阶微分方程的通解（每小题5分，共30分）
dy1．?y2cosx； 2．x2?y2dx?xydy?0；
dxdyy3．； 4．xy???y??0； ?dxx?y35．y(5)?2y(3)?y??0； 6．y???4y??4y?cos2x；
??四、判断方程1?e2?d??2?e2?d??0是否为全微分方程, 并求出其解．（8分） 五、设曲线L位于xOy平面的第一象限内，L上任一点M处的切线与y轴总相交， 交
33点记为A. 已知|MA|?|OA|，且L过点(,)，求L的方程．（8分）
22六、设对任意的x?0, 曲线y?f(x)上的点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距等于1x（8分） f(t)dt, 求f(x)的一般表达式．
x?0?2(x)y?Q(x)的特解, 其中七、设y1(x),y2(x),y3(x)均为非齐次线性方程y???P1(x)y?Py2(x)?y1(x)P?常数，试证：给定方程的通解为 1(x),P2(x),Q(x)为已知函数, 且
y3(x)?y1(x)??y(x)?(1?C1?C2)y1(x)?C1y2(x)?C2y3(x),
其中C1,C2为任意常数．（8分）
1y八、证明：2f()是微分方程xdy?ydx?0的积分因子．（6分）
xxB级自测题
一、选择题（每小题3分，共12分）
1．微分方程y???y??2y?0的通解为（ ）． A．y?C1e?2x?C2exB．y?C1e2x?e?x C．y?e2x?C2e?xD．y?C1e2x?C2e?x
2．微分方程xdy?ydx?y2eydy的通解为（ ）． A．y?x(ex?C)B．x?y(ey?C) C．x?y(C?ey)D．y?x(C?ex)
3．若y?y(x)是方程x2y??xy?y2的满足条件y|x?1?1的解, 则?y(x)dx?( )．
13A．ln5 B．ln3 C．ln2 D．ln7
4．设y?y(x)是方程y???y??esinx?0的解, 且y?(x0)?0, 则y(x)在（ ）． A．x0某邻域单调递增B．x0某邻域单调递减 C．x0处取得极小值D．x0处取得极大值
二、填空题 （每小题3分，共12分）
1．通解为y?C1ex?C2e?x?x（C1,C2为任意常数）的微分方程是． 2．微分方程(1?x2)y???2xy?满足初始条件y|x?0?1，y?|x?0?3的特解是．
13．（05研）方程xy??2y?xlnx满足y(1)??的解为．
9x4．微分方程y???2y??2y?e的通解为．
三、求下列微分方程的通解．（每小题5分，共30分）
dy11．??1； 2．(y?3x2)dx??4y?x?dy?0；3．y????6y???3y??10y?0
dxx?y1dy4．y???y??xex5．y???y?ex?cosx；6．?y?xy5．
xdx四、设可导函数?(x)满足?(x)cosx?2??(t)sintdt?x?1， 求?(x)．（6分）
0x3的特解.（6分） 2六、（99研）设函数y(x)(x?0)二阶可导，且y?(x)?0，y(0)?1，过曲线y?y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴围成的三角形的面积记
五、求方程y???2y??y?cosx,满足初始条件y|x?0?0，y?|x?0?为S1，区间?0,x?上以y?y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1?S2?1，求此曲线y?y(x)的方程．（8分）
七、某湖泊的水量为V，每年排入湖泊内含污染物A的污水量为含污染物A的水量为
V，注入湖泊内不6VV，流出湖泊的水量为，已知1999年底湖中污染物A的含量为635m0，超过国家规定指标，为了治理污染，从2000年起，限定排入湖中污水的浓度不超过m0，问至少需经过多少年，湖泊中污染物A的含量降至m0以内？（设湖泊中污染物AV的含量是均匀的）．（8分）
八、证明：若f(x)满足方程f?(x)?f(1?x), 则必满足方程f??(x)?f(x)?0，并求方程f?(x)?f(1?x)的解．（8分）
九、（06研）设函数f?u?在?0,???内具有二阶导数，且z?f?2z?2z?2?0． 2?x?y?x2?y2满足等式
?（1）验证f???u??f??u?u（2）若f?1??0，f??1??1，求函数f?u?的表达式．（10分）
?0；
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